Linearna funkcija

Funkcija je ovisnost među dvjema veličinama koje najčešće označavamo s $x$ i $y,$ a zapisujemo $y=f(x)$ ili $y$ je funkcija od $x.$ Oznaku $f(x)$ uveo je Leonhard Euler.

Veličinu $x$ nazivamo ulazna, a $y$ izlazna vrijednost. Napomenimo još da funkcija može biti zadana formulom, riječima, tablicom, grafom i dijagramom.

Ovdje ćemo se baviti linearnom funkcijom, tj. funkcijom oblika $f(x)=y=ax+b$ gdje su $a\neq 0,b$ realni brojevi. Broj $a$ naziva se koeficijentom smjera, a broj $b$ zovemo odsječkom na osi $y.$

Ako je $a>0$ linearna funkcija raste, a ako je $a<0$ funkcija pada. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Uzmimo $x,x+h,h>0.$ Tada je $a(x+h)+b=ax+b+ah>ax+b$ (jer je $ah>0$), tj. $f(x+h)>f(x),$ što je i trebalo pokazati. Analogno se dokazuje za $a<0.$

Nagib

Neka su zadane dvije točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu, $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}).$ Tada je nagib funkcije na intervalu $[x_{1},x_{2}]$ određen kvocijentom ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {dy}{dx}}.$ Kako funkciju gledamo slijeva nadesno, kažemo da vrijednost funkcije na krajnjim točkama toga intervala raste (kod ove funkcije rast/pad je konstantan) ako je nagib pozitivan, a ako je negativan kažemo da pada.

Konstantan nagib najvažnije je svojstvo linearne funkcije. Broj $a$ naziva se koeficijenom smjera ili nagibom pravca koji je graf linearne funkcije. Posebno, ${\frac {d}{dx}}f(x)=a,$ gdje je $f(x)=ax+b,\forall a,b\in \mathbb {R} .$

Dokažimo da je njezin nagib konstantan, tj. da je njezin graf pravac.

Pretpostavimo da imamo f-ju $y=ax.$ Onda imamo točke $A(x_{1},ax_{1}),B(x_{2},ax_{2})$ (uz $x_{1}\neq x_{2}$). Tada je nagib na intervalu $[x_{1},x_{2}]$ jednak ${\frac {a(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}\equiv a$ i tvrdnja je dokazana.

Isto tako je funkcija $y=ax+b$ pravac. Ako je $b>0$ graf se uzdiže za $b$ jediničnih vektora (jer je $y'=y+b$), a ako je $b<0$ graf se spušta za $b$ jediničnih vektora (jer je $y'=y-b).$

Slično, ako je $y=a(x-x_{0})+b$ cijeli se graf pomiče za $x_{0}$ udesno ako je $x_{0}>0$), a ulijevo za $x_{0}$ ako je $x_{0}<0.$

Gornje se tvrdnje mogu dokazati i transformacijama koordinatnih osi.

Paralelnost i okomitost pravaca

Paralenost. Neka imamo $y=a_{1}x,y=a_{2}x.$ Očito je da su ta dva pravca jednaka ako i samo ako je $a_{1}=a_{2}.$ Analogno za bilo koju linearnu funkciju (zbog gore navedenih transformacija). Dakle, grafovi dviju funkcija $y=a_{1}x+b_{1},y=a_{2}x+b_{2}$ su pravci koji su paralelni ako i samo ako vrijedi $a_{1}=a_{2}.$

Okomitost. Pretpostavimo da su pravci $y=a_{1}x,y=a_{2}x$. Uočimo pravokutni trokut dan vrhovima $(0,0),(x,0),(x,a_{1}x).$ I sada, rotiranjem svih ($\forall x\in \mathbb {R}$) takvih trokuta za $90^{\circ }$ dobili smo ovaj drugi pravac. Dakle, vrijedi $a_{2}=-{\frac {1}{a_{1}}}.$ Opet, zbog gornjih transformacija, dva su pravca okomita ako i samo ako je $a_{1}\cdot a_{2}=-1.$

Napomenimo da je veza među transformacija grafa te paralelnosti i okomitosti pravaca sljedeća: vrijedi $p\parallel q$ ako i samo je $p'\parallel q'$ gdje su $p',q'$ pravci dobiveni redom translacijom pravaca $p,q.$ Analogno za $p\perp q.$

Kut između dvaju pravaca

Lako se dokaže da za kut $\varphi$ između neka dva pravca $p_{1},p_{2}$ vrijedi $\tan {\varphi }=|{\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}\cdot k_{2}}}|,$ gdje su redom $k_{1},k_{2}$ nagibi pravaca $p_{1},p_{2}.$

Zadanost i jednadžba pravca kroz dvije točke

Linearna funkcija može biti zadana parametrima $a,b,$ nagibom i nekom točkom ili dvjema točkama.

Pretpostavimo opet da imamo pravac $y=ax+b$ i dvije točke za koje je $y_{1}=ax_{1}+b,y_{2}=ax_{2}+b.$ Oduzimanjem druge jednadžbe od prve dobivamo $y-y_{1}=a(x-x_{1}),$ što pišemo kao $y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1}).$

Eksplicitni i implicitni oblik

Valja spomenuti da jednadžba pravca može biti zadana u eksplicitnom ili implicitnom obliku. Prvi oblik je bilo koja jednadžba oblika $Ay+Bx+C=0,$ a drugi općenito jednadžba $y=-{\frac {B}{A}}x-{\frac {C}{A}}.$

Segmenti oblik jednadžbe pravca

Jednadžbu pravca možemo zapisati u ovome obliku: ${\frac {x}{m}}+{\frac {y}{n}}=1,m,n\in \mathbb {R} .$ Ovaj se oblik jednadžbe pravca naziva segmentnim jer za $x=0$ dobivamo odsječak (segment) na osi $y$ i obrnuto. Zbog toga je površina ispod ili iznad grafa pravca omeđena koordinatnim osima jednaka ${\frac {1}{2}}|mn|.$

Nultočka linearne funkcije

Općenito, nultočka je svaka vrijednost neovisne varijable $x$ za koju je $f(x)=0.$

Dakle, nultočka linearne funkcije jednaka je $ax+b=0\iff x=-{\frac {b}{a}}.$