Linearna funkcija

Funkcija je ovisnost među dvjema veličinama koje najčešće označavamo s i a zapisujemo ili je funkcija od Oznaku uveo je Leonhard Euler.

Veličinu nazivamo ulazna, a izlazna vrijednost. Napomenimo još da funkcija može biti zadana formulom, riječima, tablicom, grafom i dijagramom.

Ovdje ćemo se baviti linearnom funkcijom, tj. funkcijom oblika gdje su realni brojevi. Broj naziva se koeficijentom smjera, a broj zovemo odsječkom na osi

Ako je linearna funkcija raste, a ako je funkcija pada. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Uzmimo Tada je (jer je ), tj. što je i trebalo pokazati. Analogno se dokazuje za

NagibUredi

Neka su zadane dvije točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu,   Tada je nagib funkcije na intervalu   određen kvocijentom   Kako funkciju gledamo slijeva nadesno, kažemo da vrijednost funkcije na krajnjim točkama toga intervala raste (kod ove funkcije rast/pad je konstantan) ako je nagib pozitivan, a ako je negativan kažemo da pada.

Konstantan nagib najvažnije je svojstvo linearne funkcije. Broj   naziva se koeficijenom smjera ili nagibom pravca koji je graf linearne funkcije. Posebno,   gdje je  

Dokažimo da je njezin nagib konstantan, tj. da je njezin graf pravac.

Pretpostavimo da imamo f-ju   Onda imamo točke   (uz  ). Tada je nagib na intervalu   jednak   i tvrdnja je dokazana.

Isto tako je funkcija   pravac. Ako je   graf se uzdiže za   jediničnih vektora (jer je  ), a ako je   graf se spušta za   jediničnih vektora (jer je  

Slično, ako je   cijeli se graf pomiče za   udesno ako je  ), a ulijevo za   ako je  

Gornje se tvrdnje mogu dokazati i transformacijama koordinatnih osi.

Paralelnost i okomitost pravacaUredi

Paralenost. Neka imamo   Očito je da su ta dva pravca jednaka ako i samo ako je   Analogno za bilo koju linearnu funkciju (zbog gore navedenih transformacija). Dakle, grafovi dviju funkcija   su pravci koji su paralelni ako i samo ako vrijedi  

Okomitost. Pretpostavimo da su pravci  . Uočimo pravokutni trokut dan vrhovima   I sada, rotiranjem svih ( ) takvih trokuta za   dobili smo ovaj drugi pravac. Dakle, vrijedi   Opet, zbog gornjih transformacija, dva su pravca okomita ako i samo ako je  

Kut između dvaju pravacaUredi

Lako se dokaže da za kut   između neka dva pravca   vrijedi   gdje su redom   nagibi pravaca  

Zadanost i jednadžba pravca kroz dvije točkeUredi

Linearna funkcija može biti zadana parametrima   nagibom i nekom točkom ili dvjema točkama.

Pretpostavimo opet da imamo pravac   i dvije točke za koje je   Oduzimanjem druge jednadžbe od prve dobivamo   što pišemo kao  


Eksplicitni i implicitni oblik

Valja spomenuti da jednadžba pravca može biti zadana u eksplicitnom ili implicitnom obliku. Prvi oblik je bilo koja jednadžba oblika   a drugi općenito jednadžba  


Segmenti oblik jednadžbe pravca

Jednadžbu pravca možemo zapisati u ovome obliku:   Ovaj se oblik jednadžbe pravca naziva segmentnim jer za   dobivamo odsječak (segment) na osi   i obrnuto. Zbog toga je površina ispod ili iznad grafa pravca omeđena koordinatnim osima jednaka  

Nultočka linearne funkcijeUredi

Općenito, nultočka je svaka vrijednost neovisne varijable   za koju je  

Dakle, nultočka linearne funkcije jednaka je