Linearna kombinacija

Linearna kombinacija vektora osnovni je pojam teorije vektorskih prostora u linearnoj algebri.

Neka je -dimenzionalni vektorski prostor nad poljem te neka je Tada se suma naziva linearna kombinacija vektora .[1]

Unatoč svojoj jednostavnosti, pojam linearne kombinacije često se smatra ishodišnom točkom u daljnjem proučavanju vektorskih prostora i svojstava vektora.

Linearna ljuskaUredi

Neka imamo linearno nezavisan skup vektora, mada će isto vrijediti i ako je skup linearno zavisan,   koji je podskup vektorskog prostora  . Skup svih linearnih kombinacija vektora   naziva se linearna ljuska ili rjeđe linearni omotač skupa   i označava se s  . Dakle,   Nije teško pokazati da je linearna ljuska najmanji vektorski potprostor vektorskoga prostora koji sadržava sve konačne linearne kombinacije elemenata danoga skupa vektora.   se naziva potprostorom generiranim ili razapetim skupom  .[2]

Geometrija ravnineUredi

Linearnom kombinacijom dva bazna vektora   realne ravnine   dobivamo čitavu ravninu  . To je zato što se svaka usmjerena dužina, koja je zadana svojom krajnjom točkom  , može dobiti kao linearna kombinacija vektora  .

To je očito kod slučaja kada su   jedinični vektori (orti) koji redom leže na apscisnoj i ordinatnoj osi s početnom točkom u ishodištu koordinatnog sustava. Naime, tada je svaki vektor   s krajnjom točkom   moguće prikazati kao  .

IzvoriUredi

  1. Sheldon Axler, Linear algebra done right, Springer, 2015.
  2. Kraljević, Hrvoje. 2007. Vektorski prostori (PDF). math.pmf.unizg.hr. Pristupljeno 2. srpnja 2021.