Linearna kombinacija

Linearna kombinacija vektora osnovni je pojam teorije vektorskih prostora u linearnoj algebri.

Neka je $V$ $n$-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem $\mathbb {F}$ te neka je $v_{1},v_{2},...,v_{k}\in V,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{k}\in \mathbb {F} .$ Tada se suma $\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+...+\alpha _{k}v_{k}$ naziva linearna kombinacija vektora $v_{1},v_{2},...,v_{k}$.

Unatoč svojoj jednostavnosti, pojam linearne kombinacije često se smatra ishodišnom točkom u daljnjem proučavanju vektorskih prostora i svojstava vektora.

Linearna ljuska

Neka imamo linearno nezavisan skup vektora, iako će isto vrijediti i ako je skup linearno zavisan, $S=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$ koji je podskup vektorskog prostora $V$. Skup svih linearnih kombinacija vektora $\alpha _{1}v_{1},\alpha _{2}v_{2},...,\alpha _{n}v_{n}$ naziva se linearna ljuska ili rjeđe linearni omotač skupa $S$ i označava se s $[S]$. Dakle, $[S]=\{\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+...+\alpha _{n}a_{n}:n\in \mathbb {N} ,a_{1},a_{2},...,a_{n}\in S,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\in \mathbb {F} \}.$ Nije teško pokazati da je linearna ljuska najmanji vektorski potprostor vektorskoga prostora koji sadržava sve konačne linearne kombinacije elemenata danoga skupa vektora. $[S]$ se naziva potprostorom generiranim ili razapetim skupom $S$.

Geometrija ravnine

Linearnom kombinacijom dva bazna vektora $i,j$ realne ravnine $\mathbb {R} ^{2}$ dobivamo čitavu ravninu $\mathbb {R} ^{2}$. To je zato što se svaka usmjerena dužina, koja je zadana svojom krajnjom točkom $(x,y)$, može dobiti kao linearna kombinacija vektora $i,j$.

To je očito kod slučaja kada su $i,j$ jedinični vektori (orti) koji redom leže na apscisnoj i ordinatnoj osi s početnom točkom u ishodištu koordinatnog sustava. Naime, tada je svaki vektor $v$ s krajnjom točkom $(x,y)$ moguće prikazati kao $v=xi+yj$.