|
[[Datoteka:Möbius strip 3D red.png|thumb|280x280px|Möbiusova vrpca]]
{{prijevod|srp}}
'''Möbiusova vrpca''' ([[Engleski jezik|eng.]] ''Möbius band'', [[Njemački jezik|njem.]] ''Möbiusband''), '''Möbiusova petlja''' ili '''Möbiusova ploha'''<ref name=he> [https://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?ID=69990 Möbiusova ploha] ''enciklopedija.hr''. [[Hrvatska enciklopedija (LZMK)|Hrvatska enciklopedija]]. LZMK: Zagreb. </ref> je jednostrana [[površina]] ([[ploha (geometrija)|ploha]]) nastala zakretanjem jedne stranice pravokutne vrpce za 180 stupnjeva i njezinim prianjanjem sa suprotnom stranicom. Obilaskom po vrpci mijenja se smjer okomice u suprotan.<ref> [https://tl.lzmk.hr/clanak/4087 Möbiusova vrpca] ''tl.lzmk.hr''. Tehnički leksikon, LZMK: Zagreb. </ref> Drugim riječima, to je jednostrana ploha s jednom neprekidnom orijentacijom.<ref> [http://lavica.fesb.unist.hr/matematika3/predavanja/node20.html Plošni integral vektorskog polja] ''lavica.fesb.unist.hr''. FESB Split. </ref> Otkrili su je njemački matematičari [[August Ferdinand Möbius]] i [[Johan Benedikt Listing]] 1858. godine, neovisno jedan o drugomu, no prozvana je po Möbiusu.<ref name=he/>
[[Datoteka:MöbiusAugust stripFerdinand 3D redMöbius.pngjpg|thumb258x258px|280x280pxthumbnail|MöbiusovaAugust trakaFerdinand Möbius]]
'''Möbiusova traka''' (ili vrpca) je [[površina]] koja nastaje od pravokutne trake tako što se jedna stranica zarotira za 180 stupnjeva i zalijepi sa suprotnom stranicom. Ona ima samo jednu stranu i jednu graničnu komponentu. Također, predstavlja osnovni primjer neorijentabilne površine. Neovisno jedan od drugog otkrili su je njemački matematičari [[August Ferdinand Möbius]] i [[Johan Benedikt Listing]] 1858. godine.[[Datoteka:August Ferdinand Möbius.jpg|258x258px|thumbnail|August Ferdinand Möbius]]
Möbiusova trakavrpca nije površina jedinstvene veličine i oblika, kao što je traka prikazana na slici. Naime, matematičari smatraju Möbiusovom trakomvrpcom bilo koju površinu koja je [[Homeomorfizam|homeomorfna]] s njom. NjenaNjezina granica je jednostavna zatvorena krivakrivulja, odnosno homeomorfna je [[kružnica|kružnici]]. To omogućava razne geometrijske verzijeinačice Möbiusove trakevrpce, gdje svaka ima određenu veličinu i oblik.
Poluokret u smjeru kazaljke na satu daje drugačijidrukčiju tipvrstu Möbiusove trakevrpce u odnosu na poluokret u suprotnomsuprotnomu smjeru. To znači da je, kao objekt u euklidskom prostoru, Möbiusova trakavrpca [[Kiralnost (matematika)|kiralni]] objekt pozitivne ili negativne orijentacije. Postoji beskonačno mnogo topološki različitih utapanja istogistoga topološkog prostora u trodimenzionalnitrodimenzijski prostor, što znači da se i Möbiusova trakavrpca može formiratioblikovati na više načina, na primjerprimjerice, uvrtanjem trakevrpce neparan broj puta ili vezivanjem trakeiste u čvor i uvrtanjem (prije spajanja krajeva).
Izvrnuti papirni model Möbiusove trake jevrpce površina je [[GausoveGaussova krivulja|Gaussove krivinekrivulje]] nula. SistemSustav diferencijalno-algebarskih jednadžbi koji opisuje modele ovogove tipavrste objavljen je 2007. godine zajedno s rješenjem.
[[Eulerova karakteristikaosobina]] Möbiusove trakevrpce je nula.
== Svojstva ==
Möbiusova trakavrpca ima nekoliko zanimljivih svojstava.
Kao primjer se često navodi [[mrav]] koji hoda duž nje. Nakon jednogjednoga obilaska naći će se sa suprotne strane svoje početne točke, a nakon dva, u svojoj početnoj točki.
Rezanjem Möbiusove trakevrpce po sredini dobiva se jedna duža trakavrpca s dva puna obrta, a ne dvije odvojene trake, kao što bi se očekivalo. Dobivena trakavrpca nije Möbiusova.
S druge strane, ako se Möbiusova traka reževrpca ne reže po sredini, već na razdaljini od jedne trećine svoje širine do ruba, rezultat sječenja ćebit bitiće dvije trakevrpce: kraća, koja jest Möbiusova, i duža, koja sadrži dva puna obrta (i koja nije Möbiusova i koja bi se inače dobila rezanjem početne trakevrpce na dva dijela).
Uopćeno, prepolavljanjem trake koja ima 2n-1 poluobrta, dobiva se traka s 2n punih obrta. Presijecanjem trake koja ima 2n poluobrta, dobivaju se dvije iste takve trakevrpce, međusobno uvijene n puta. Na primjer, za n = 2, nakon rezanja će jedna trakavrpca biti 2dva puta obmotanaomotana oko druge. Za n = 1 dobit će se dvije karike lanca.
Dodavanjem još obrta i spajanjem krajeva dobivaju se figure koje se nazivaju [[paradromski prsteni]].
[[Datoteka:Mobius Half final.gif|thumb|Rezanje Möbiusove trakevrpce po sredini]][[Datoteka:Trecina.gif|thumb|Rezanje Möbiusove trakevrpce po trećini širine]]
=== OrijentabilnostUsmjerenost ===
[[Datoteka:Surface of Möbius strip.gif|thumb|Obilazak normaleokomice oko Möbiusove trakevrpce]]
Površina je orijentabilnausmjerena ako za proizvoljnu jednostavnu zatvorenu krivukrivulju na toj površini i bilo koju točku na toj krivojkrivulji važivrijedi sljedeće: [[Vektor|normalni vektor]] u toj točki neprekidnim kretanjem duž krive sekrivulje vraća se u svoj početni položaj bez promjene smjera.
NeorijentabilnostNeusmjerenost Möbiusove trakevrpce može se može dokazati i ako se ona predstavi [[poliedar]]ski (slika dolje desno). Tada je tabelatablica povezanosti tjemena, rub i pljosniplohe ovogovoga modela: ▼Möbiusova traka nije orijentabilna, što je ilustrirano animacijom desno.
▲Neorijentabilnost Möbiusove trake se može dokazati i ako se ona predstavi [[poliedar]]ski (slika dolje desno). Tada je tabela povezanosti tjemena, rub i pljosni ovog modela:
T = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\};
p_0 = \langle 0, 3, 2, 1\rangle,\ p_1 = \langle 3, 2, 4, 5\rangle,\ p_2 = \langle 4, 0, 1, 5\rangle;
gdje T predstavlja skup tjemena, I skup rubova, a p_k su pljosniplohe.
[[Datoteka:Poliedarski.png|thumb|Poliedarski prikaz Möbiusove trakevrpce s 3trima pljosniplohama]]
Poliedarska površina je orijentabilnausmjerena ako se može uskladiti orijentacija susjednih pljosniplohi, odnosno, kada svake dvedvije susjedne pljosniplohe induciraju suprotnu orijentaciju zajedničkogzajedničkoga ruba.
PromatrajućiUsmjerenja (orijentacije) Möbiusove vrpce ne mogu se uskladiti, što se može dokazati promatrajući najjednostavniji poliedarski model Möbiusove trakevrpce. (slikaPritom desno),se vidiuočava se dakako su sve tri pljosniplohe susjedne. To znači da orijentacija svake pljosniplohe mora da biti usklađena s ostaleostalim dvijedvjema. Ako se uskladi orijentacija p_1 s p_0, dobiva se: p_1 = <5, 4, 2, 3>. Tada je p_2 s p_1 usklađeno, ali p_2 s p_0 nije. AkoPromjenom promijenimo orijentacijuorijentacije p_0, onda ona više neće biti usklađena s p_1. Na ovaj način je dokazano da se orijentacije pljosni Möbiusove trake ne mogu uskladiti, pa ona nije orijentabilna.▼Svaki pokušaj usklađivanja orijentacije pljosni Möbiusove trake biva neuspješan. Na primjer:
===Eulerova karakteristikaosobina === ▼▲Promatrajući najjednostavniji poliedarski model Möbiusove trake (slika desno), vidi se da su sve tri pljosni susjedne. To znači da orijentacija svake pljosni mora da biti usklađena s ostale dvije. Ako se uskladi orijentacija p_1 s p_0, dobiva se: p_1 = <5, 4, 2, 3>. Tada je p_2 s p_1 usklađeno, ali p_2 s p_0 nije. Ako promijenimo orijentaciju p_0, onda ona više neće biti usklađena s p_1. Na ovaj način je dokazano da se orijentacije pljosni Möbiusove trake ne mogu uskladiti, pa ona nije orijentabilna.
[[Formula]] za izračunavanje [[Eulerove karakteristike]]osobine poliedarske površine je sljedeća: ▼
▲===Eulerova karakteristika ===
▲[[Formula]] za izračunavanje [[Eulerove karakteristike]] poliedarske površine je sljedeća:
\chi=T-I+P,
gdje je T broj tjemena, I broj rubova, a P broj pljosniploha.
== Geometrija i Topologijatopologija == ▼Poliedarski model Möbiusove trake predstavljen na slici desno ima 6 tjemena, 9 rubova i 3 pljosni. Dakle, Eulerova karakteristika iznosi 0.
[[Datoteka:Moebius strip.svg|thumb|Parametarski prikaz Möbiusove trakevrpce]] ▼
Jedan način za predstavljanje Möbiusove trakevrpce kao [[podskup]]a '''R'''3 je putem [[ parametrizacija|parametrizacije]]: ▼▲== Geometrija i Topologija ==
▲[[Datoteka:Moebius strip.svg|thumb|Parametarski prikaz Möbiusove trake]]
▲Jedan način za predstavljanje Möbiusove trake kao [[podskup]]a '''R'''3 je putem [[parametrizacije]]:
x(u,v)= \left(1+\frac{v}{2} \cos \frac{u}{2}\right)\cos u
z(u,v)= \frac{v}{2}\sin \frac{u}{2},
gdje je \, 0 \leq u < 2\pi\, i \, -1 \leq v \leq 1\,. Ovo daje Möbiusovu trakuvrpcu širine 1, čija središnja kružnica ima poluprečnik[[polumjer]] 1, leži u Oxy ravni i centarsredište joj je u koordinatnom početku. Parametar u kreće se duž trakevrpce, dok v ide od jednogjednoga ruba do drugog. U [[Cilindrični koordinatni sistemsustav|cilindričnim koordinatama]] Möbiusova trakavrpca može se predstaviti pomoću jednadžbe: [[Datoteka:MöbiusStripAsSquare.svg|thumb|Da bi se napravila Möbiusova trakavrpca od kvadrata[[kvadrat]]a, treba spojiti stranice tako da se strelice poklope]]\log(r)\sin\left(\frac{1}{2}\theta\right)=z\cos\left(\frac{1}{2}\theta\right).
=== Topologija ===
[[Topologija|Topološki]], Möbiusova trakavrpca može se može definiratiodrediti kao [[kvadrat]][0,1] \times [0,1] s identifikacijom (x,0) ~ (1-x,1) za 0 \leq x \leq 1, kao što je predstavljeno na slici desno. Möbiusova traka jevrpca na ovaj je način predstavljena kao površina s povezanom granicom. NeorijentabilnaNeusmjerena je i uzima se kao savršen primjer topološke osobine neorijentabilnosti iz sljedećih razloga:
* Ne postoje neorijentabilne [[mnogostrukost]]i dimenzije manje od dva.
* Möbiusova trakavrpca je površina koja predstavlja [[Topološki prostor|topološki potprostor]] svake neorijentabilne površine, iz čega slijedi da je dana površina neorijentabilna ako i samo ako sadrži Möbiusovu trakuvrpcu kao svoj potprostorpodprostor.
=== Računarska grafika ===
Möbiusova trakaČesto se često koristi u računarskoj grafici ili softverskim paketima za modeliranje.
Na primjer, u softwareu [[Autodesk_3ds_Max|3D Studio Max]] softveru, MöbiusovuMöbiusova vrpca trakudobiva dobivamose iscrtavanjem kvadrata (''plane'') i primjenom modifikatora ''twist'' i ''bend'' modifikatora za po 180º i 360º.[[Datoteka:Creating a Mobius Strip from a rectangle.gif|thumb|KreiranjeStvaranje Möbiusove trakevrpce savijanjemsvijanjem pravokutnika[[pravokutnik]]a]]
== Slični objekti ==
[[Datoteka:Mobius to Klein.gif|thumb|PravljenjeSlaganje KlajnoveKleinove boce od dvijedviju MöbiusoveMöbiusovih trakevrpci]]
Möbiusova traka je veomavrpca usko povezana s [[KlajnovomKleinova boca|Kleinovom bocom]]. [[Klajnova boca]]Boca se može napravitidobiti spajanjem dvedviju MöbiusoveMöbiusovih trakevrpca po njihovim granicama. Međutim, ovo se u trodimenzionalnomtrodimenzijskome [[Euklidov prostor|euklidskom prostoru]] ne može postići bez samopresjeka.
Još jedan sličan objekt je [[realna projektivnaprojekcijska ravanravnina]] koja se dobiva lijepljenjem Möbiusove trakevrpce i diska po njihovim rubovima. Realna projektivna ravan takođerTakođer, ne može biti realiziranaostvarena u trodimenzionalnomtrodimenzijskome prostoru bez samopresjeka.
U [[Teorija grafova|teoriji grafova]], [[Möbiusove ljestve]] su [[Stupanj (teorija grafova)#Regularan graf|3-regularan graf]] s 2n čvorova. Ovakvi grafovi nose ovo ime jer u sebi (osim u slučaju kada je broj čvorova šest, tj. n=3) sadrže točno n ciklusa dužine 4 čijim se spajanjem po zajedničkim rubovima dobiva Möbiusova trakavrpca.
== Primjena ==
Möbiusova trakavrpca, zbog svojih osobina, nalazi brojne primjene u raznim područjima. Koristi se u [[fizika|fizici]] i [[Elektrotehnika|elektrotehnici]].
U elektrotehnici se uporabljuje u proizvodnji niskoomskih neinduktivnih [[otpornik]]a, posebice u visokofrekvencijskim i impulsnim uređajima, sustava [[kondenzator]]a u visokofrekvencijskim sklopovima, mikrovalnih rezonatora i [[filtar]]a.<ref> {{Cite journal|url=https://scholar.googleusercontent.com/scholar?q=cache:i2hNG4P4wTsJ:scholar.google.com/+Möbiusova+vrpca&hl=hr&as_sdt=0,5|title=Primjena Möbiusove vrpce u elektrotehnici|journal=Journal of Energy: Energija|volume=56|issue=6|year=2007|page=700-711.|last=Vujević|first=Dušan}}</ref>
Koristi se u fizici i elektrotehnici.
U tvornicama[[tvornica]]ma se koristi kao [[Transportnatekuća traka|pokretna trakavrpca]]. Na taj način je svaki dio trakevrpce opterećen istom [[težina|težinom]], te je ona dugotrajnija. Ista ideja se primjenjivala i u industriji kaseta (kako bi se udvostručilo vrijeme trajanja snimkasnimki).<ref Takođername=he/> Uporabljuje se koristii u industrijiproizvodnji printera[[pisač]]a i pisaćih mašinastrojeva.
[[Möbiusov otpornik]] je element elektronskogelektronskoga kola, koji ima svojstvo poništavanja vlastite induktivneindukcijske reaktante. [[Nikola Tesla]] je početkom dvadesetogdvadesetoga stoljeća patentirao sličnu tehnologiju, koju je namjeravao koristiti u svomsvojemu sistemusustavu za globalnisvjetski bežični prijenos [[elektricitet]]a.
InspiracijaNadahnuće je za veliki broj umjetničkih djela. Nalazi se ispred ulaza u Muzej američke povijesti u Washingtonu.
Nalazila se na brazilskoj [[poštanska marka|poštanskoj markici]] 1967. godine, a na belgijskoj 1969. godine.
Möbiusova trakavrpca je usvojena kao međunarodni znak za [[reciklažaoporaba|reciklažuoporabu]]. TakođerNa selogotipu koristi kao simbolje [[Google Drive]]-a.
[[Datoteka:Logo of Google Drive.svg|thumb|190x190px|Simbol Google Drive servisa|left]][[Datoteka:Recycle.jpg|thumb|Međunarodni simbol za reciklažuoporabu|none]]
== Literatura ==
* {{cite book |author=T. Šukilović, S. Vukmirović |title=Geometrija ѕa informatičare |publisher=Matematički fakultet, Beograd |year=2015 |isbn=978-86-7589-106-2 |pages=117-119}}
== Vanjske poveznice ==
{{Commonscat|Moebius surfaces}}
* [http://mathworld.wolfram.com/MoebiusStrip.html MöbiusovaMathWorld traka{{eng na sajtu ''MathWorld''oznaka}}] ▼* [http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/823/ Vukmirović, Srđan, Animacija pravljenja Klajnove boce od dve Möbiusove trake]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/moebius.shtml Möbiusovacut-the-knot.org traka{{eng oznaka}}] ▼* [http://wonderopolis.org/wonder/what-is-a-mobius-strip Što je Moebiusova traka na sajtu ''Wonderopolis''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180612162351/http://wonderopolis.org/wonder/what-is-a-mobius-strip |date=12. lipnja 2018. }}
▲* [http://mathworld.wolfram.com/MoebiusStrip.html Möbiusova traka na sajtu ''MathWorld'']
▲* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/moebius.shtml Möbiusova traka]
* [http://www.toroidalsnark.net/mkmb.html Štrikana verzija]
{{izvori}}
[[Kategorija:Topologija]]
| 