Markovljev lanac: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 51:
Markovljevi lanci danas imaju široki spektar upotrebe, tako da se upotrebljavaju u statistici, biologiji, pa čak i u književnosti. Neka od područja primjene su: modeliranje različitih procesa u teoriji redova i statistici, aritmetičko kodiranje , populacijski procesi, upotreba u bioinformatici za genetsko kodiranje, prepoznavanje osobe na temelju slike, predviđanje vremenske prognoze, skladanje glazbe, generiranje teksta, itd.
== Stohastička matrica i vektor stanja Markovljevog lanca ==
Ako Markovljev lanac ima k mogućih stanja koje označavamo 1,2,3,...k onda se vjerojatnost da je sustav u stanju i u trenutku t nakon što je bio u stanju j označava pij i zove se vjerojatnost prijelaza iz stanja j u stanje i. Matrica P=[ pij] se zove matrica prijelaza Markovljevoga lanca. Zbroj elemenata u svakom stupcu matrice prijelaznih vrijednosti
<math>\left( \text{p}_{\text{1j}}+\text{p}_{\text{2j}}+...+\text{p}_{\text{kj}}=\text{1} \right)</math> naziva se '''stohastička matrica''', matrica vjerojatnosti ili Markovljeva matrica. (u primjeru 1 uočili smo da je zbroj vjerojatnosti grana koje izlaze iz jednoga čvora 1 )
<br>
<math>~\sum\limits_{i=1}^{n}{p_{ij}=1}</math>
<br>
Za svako stanje <math>i\in \left\{ 1,2,...,\left. n \right\} \right.</math>
Prijelazna vjerojatnost <math>p_{ij}</math> predstavlja uvjetnu vjerojatnost da će se sustav naći u j-tom stanju ako se prethodno nalazio u i-tom stanju.
Ako se vratimo na naš primjer onda možemo sa <math>p_{1}^{1}</math> označiti vjerojatnost da će sustav naći u stanju 1, a sa
<math>p_{2}^{1}</math> da će sustav na početku biti u stanju 2. u našem primjeru je
<math>p_{1}^{1}=\frac{7}{16},\text{ }p_{2}^{1}=\frac{9}{16}</math>
Izračunajmo vjerojatnost <math>p_{i}^{2},i\in \left\{ 1,2 \right\}</math> da će se prilikom sljedećeg promatranja sustav nalaziti u stanju 1, odnosno 2. primjenom formule za totalnu vjerojatnost dobivamo slijedeći sustav linearnih jednadžbi :
<math>\begin{align}
& p_{1}^{1}p_{11}+p_{2}^{1}p_{21}=p_{1}^{2} \\
& p_{1}^{1}p_{12}+p_{2}^{1}p_{22}=p_{2}^{2} \\
& \\
& \text{ili u matri }\!\!\check{\mathrm{c}}\!\!\text{ nom obliku }\left[ \text{p}_{\text{1}}^{\text{2}}\text{ p}_{\text{2}}^{\text{2}} \right]=\left[ \text{p}_{1}^{1}\text{ p}_{\text{2}}^{\text{1}} \right]\left[ \begin{matrix}
\text{p}_{\text{11}} & \text{p}_{\text{12}} \\
\text{p}_{\text{21}} & \text{p}_{\text{22}} \\
\end{matrix} \right] \\
\end{align}</math>
Označimo li sa <math>p^{1}</math> vektor-redak početnih vrijednosti,a sa <math>p^{2}</math> vektor-redak vjerojatnosti u sljedećem promatranju, onda sustav možemo pisati i u skraćenom obliku :
<math>p^{2}=p^{1}P</math>
Ako je P matrica prijelaznih vrijednosti za Markovljev proces, a p1 vektor-redak početnih vjerojatnosti, onda je
<math>p^{2}=p^{1}P</math>
vektor-redak za iduće promatranje .
U našem primjeru je
<math>p^{1}=\left[ \frac{7}{16}\text{ }\frac{\text{9}}{\text{16}} \right]\text{ pa je p}^{\text{2}}=\left[ \frac{7}{16}\text{ }\frac{\text{9}}{\text{16}} \right]\left[ \begin{matrix}
\frac{3}{7} & \frac{4}{7} \\
\frac{3}{8} & \frac{5}{8} \\
\end{matrix} \right]=\left[ \frac{51}{128}\text{ }\frac{\text{77}}{\text{128}} \right]</math>
Dakle, ako se sustav s vjerojatnošću <math>p_{1}^{1}=\frac{7}{16}</math> nalazi na početku ( to jest pri prvom promatranju) u stanju 1, a s vjerojatnošću <math>p_{2}^{1}=\frac{9}{16}</math> u stanju 2 onda će se s vjerojatnošću <math>p_{1}^{2}=\frac{51}{128}</math> nalaziti u stanju 1 pri slijedećem promatranju.
| |||