Derivacija: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
m r2.6.5) (robot Dodaje: tl:Deribatibo |
mNema sažetka uređivanja |
||
Redak 1:
{{dz|[[Derivacija (jezikoslovlje)]]|članak o=pojmu iz matematike}}
[[Datoteka:Tangency Example 3.svg|okvir|160px|Pravac ''L'' tangira funkciju ''f'' u točki ''P'' čija derivacija odgovara nagibu pravca ''L'' u točki ''P'' ]]
Line 4 ⟶ 5:
U [[matematika|matematici]] su '''derivacije''' [[funkcija (matematika)|funkcija]] zajedno s [[integral]]nim računom glavne osnove [[infinitezimalni račun|infinitezimalnog računa]] koji ima široku primjenu u svim znanstvenim i mnogim drugim područjima gdje je potreban proračun razvoja funkcije u određenom [[interval (matematika)|intervalu]]. Tako je npr. u [[geometrija|geometriji]] derivacija nagib [[tangenta|tangente]] na funkciju u određenoj točki, u [[ekonomija|ekonomiji]] npr. rast [[inflacija|inflacije]] u vremenu, a u [[fizika|fizici]] deriviranjem puta po vremenu dobijemo [[brzina|brzinu]].
==Geometrijska interpretacija==
[[Datoteka:Ableitung.png|right]]
U geometrijskom smislu derivacija funkcije <math>f</math> je nagib tangente u određenoj točki <math>x_0</math>, odnosno [[koeficijent smjera pravca]] koji je tangenta na funkciju <math>f</math> u točki čije su koordinate <math>(x_0,f(x_0))</math>.
Line 20 ⟶ 21:
Koeficijent smjera pravca usko je povezan sa derivacijom iz razloga što kada interval <math>x_2-x_1=h</math> teži nuli, pravac postaje tangenta funkcije, a [[limes]] njegovog koeficijenta smjera postaje derivacija funkcije <math>f</math> u točki <math>(x_0,f(x))</math>.
==Tablica derivacija elementarnih funkcija==
{| class="wikitable"
|-
! Funkcija f(x) !! Derivacija <code>f'(x)</code> !!!!!! Funkcija f(x) !! Derivacija <code>f'(x)</code>
|-
| <math>\sin x</math> || <math>\cos x</math> |||||| <math>\sinh x</math> || <math>\cosh x</math>
|-
| <math>\cos x</math> || <math>-\sin x</math> |||||| <math>\cosh x</math> || <math>\sinh x</math>
|-
| <math>\tan x</math> || <math>\frac{1}{\cos^2 x}</math> |||||| <math>\tanh x</math> || <math>\frac{1}{\cosh^2 x}</math>
|-
| ctg x || <math>\frac{1}{\sin^2 x}</math> |||||| ctgh x || <math>\frac{1}{\sinh^2 x}</math>
|-
| <math>\arcsin x</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> |||||| arsinh x || <math>\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|-
| <math>\arccos x</math> || <math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> |||||| arcosh x || <math>\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|-
| <math>\arctan x</math> || <math>\frac{1}{1+x^2}</math> |||||| artanh x || <math>\frac{1}{1-x^2}</math>
|-
| arcctg x || <math>-\frac{1}{1+x^2}</math> |||||| arctgh x || <math>\frac{1}{1-x^2}</math>
|-
| <math>e^x</math> || <math>e^x</math> |||||| <math>a^x</math> || <math>a^x \ln a</math>
|-
| ln(x) || <math>\frac{1}{x}</math> |||||| <math>\frac{1}{x}</math> || <math>-\frac{1}{x^2}</math>
|-
| <math>\log_{a} x</math> || <math>\frac{1}{x \ln a}</math> |||||| .|x| || <math>\frac{x}{|x|}</math>
|-
| <math>\sqrt{x}</math> || <math>\frac{1}{2 \sqrt{x}}</math> |||||| <math>x^n</math> || n x<sup>n-1</sup>
|}
==Osnovna pravila deriviranja==
Ako su funkcije f i g diferencijabilne u točki x, onda vrijedi:
# <code><math>\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)</math></code>
# <code><math>\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)</math></code>
# <code><math>\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math></code>
# <code><math>\left (\frac{f(x)}{g(x)} \right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}</math></code>
Derivacija složene funkcije (kompozicije):
:<code><math>(f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)</math></code>
[[Kategorija:Matematička analiza]]
| |||