Suradnik:Vojka/pijesak: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 1:
[[Image:Pascal's triangle 5.svg|right|thumb|200px|[[Binomni koeficijent|Binomni koeficijenti]] se mogu izračunati kao dijelovi Pascalova trokuta, gdje je svaki broj zbroj ona dva iznad njega.]] U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije [[binom|binoma]]. Prema tom poučku moguće je (''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup> proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>, gdje su b i c pozitivni [[cijeli brojevi]], i koeficijent ''a'' je specifični pozitivni [[broj]] ovisan o ''n'' i ''b''. Kada je [[eksponent]] jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :
<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.</math>
Koeficijent ''a'' u izrazu ''x''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup> je također poznat kao [[binomni koeficijent]] <math>\tbinom nb</math> ili <math>\tbinom nc</math> (ova dva imaju istu vrijednost). Ovi koeficijenti za različite ''n'' i ''b'' se mogu složiti u [[Pascalov trokut]]. Ovi se brojevi također pojavljuju u [[kombinatorika|kombinatorici]], gdje <math>\tbinom nb</math> daje broj različitih kombinacija ''b'' elemenata izabranih iz [[skup|skupa]] od ''n'' elemenata.
==Povijest==
Formula i prikaz binomnih koeficijenata u obliku trokuta se često pripisuju [[Blaise Pascal|Blaiseu Pascalu]], koji ih je opisao u 17. stoljeću, iako je bio poznat mnogim matematičarima prije njega. U 4. stoljeću pr. Kr [[Euklid| grčki matematičar Euklid]] je znao posebni slučaj binomnog poučka za ''n''=2, kao i u 3. stoljeću pr. Kr indijski matematičar [[Pingala]] za više eksponente. Općeniti binomni poučak i takozvani "Pascalov trokut" su bili poznati u 10. stoljeću poslije Krista indijskom matematičaru Halayudhi i perzijskom matematičaru Al-Karaji, te u 11. stoljeću perzijskom pjesniku i matematičaru Omaru Khayyamu,i u 13. stoljeću kineskom matematičaru Yangu Huiu, koji su svi imali slične rezultate. Al-Karaji je također dokazao binomni poučak i "Pascalov trokut", koristeći [[Matematička indukcija|matematičku indukciju]]
==Iskaz poučka==
Prema poučku, moguće je proširiti bilo koju potenciju od ''x + y'' u zbroj oblika :
<math>(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,</math>, gdje je <math> \tbinom nk </math> specifičnipozitivan broj poznat kao binomni koeficijent. Ovo je također poznato kao [[binomna formula]] ili [[binomni identitet]]. Također se može zapisati kao :
<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.
</math>
Jedna od varijanti binomne formule se dobija zamjenom 1 za ''y'', tako da ima samo jednu [[varijabla|varijablu]]. U ovom obliku, formula izgleda ovako :
:<math>(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math>
ili ekvivalento :
:<math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.</math>
==Primjeri==
[[Image:Pascal triangle small.png|thumb|right|300px|Pascalov trokut]]
Najjednostavniji primjer je kvadrat od ''x+y'' :
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!</math>
Binomni koeficijenti 1, 2, 1 se pojavljuju u trećem redu [[Pascalov trokut|Pascalova trokuta]]. Koeficijenti za veće eksponente se nalaze u nižim redovima Pascalova trokuta.
<math>
\begin{align}
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
\end{align}
</math>
Primjetite da :
# eksponenti od ''x'' se smanjuju dok ne dođu do nule (<math>x^0=1</math>), a početna im je vrijednost ''n''
# eksponenti od ''y'' rastu dok ne dođu do ''n'', a početna im je vrijednost 0 (<math>x^0=1</math>)
# ''N''-ti red Pascalova trokuta će biti koeficijenti proširenog binoma. (Red na vrhu je red 0)
# Za svaki red Pascalova trokuta, zbroj koeficijenata je jednak <math>2^n</math>.
Za binome koji imaju oduzimanje, poučak se može primjeniti, sve dok mijenjamo predznak svako drugom koeficijentu u izrazu :
:<math>(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!</math>
===Geometrijsko objašnjenje===
[[datoteka:BinomialTheorem.png|desno|270px]]
Za pozitivne vrijednosti ''a'' i ''b'', binomni poučak za ''n'' = 2, geometrijski je očito da se [[kvadrat]] sa stranicom ''(a+b)'' može izrezati u kvadrat sa stranicom <math>a^2</math>, kvadrat sa stranicom <math>b^2</math>, i dva pravokutnika da stranicama ''a'' i ''b''. Za ''n=3'', poučak kaže da se kocka sa stranicom ''(a + b)'' može izrezati u kocku sa stranicom <math>a^3</math>, kocku sa stranicom <math>b^2</math>, tri kvadra oblika ''a''×''a''×''b'' te tri kvadra oblika ''a''×''b''×''b''.
==Binomni koeficijenti==
Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom poučku se zovu '''binomni koeficijenti'''.
===Formulas===
Koeficijent od ''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup> je zadan formulom
:<math>{n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>,
koji je definiran funkcijom faktorijela. Također, formula se može zapisati kao :
:<math>{n \choose k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell}</math>
==Dokazi==
===Kombinatorični dokaz===
| |||