Inačica od 30. prosinca 2015. u 01:54 uredi Tulkas Astaldo (razgovor \| doprinosi) Automatski ophođeni suradnici, IP blok iznimke, Ophoditelji, Administratori 39.689 edits točne nultočke ← Starija izmjena		Inačica od 30. prosinca 2015. u 02:00 uredi ukloni ovu izmjenu Tulkas Astaldo (razgovor \| doprinosi) Automatski ophođeni suradnici, IP blok iznimke, Ophoditelji, Administratori 39.689 edits nekoliko sitnica Novija izmjena →
Redak 1: '''Kubna funkcija''' u matematici je svaka [[funkcija]] oblika :<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad(1)</math>, gdje je ''a'' različito od nule. Pripadna jednadžba <math>f(x)=0</math> je [[kubna jednadžba]]. U pravilu, a naročito u nastavi matematike u srednjoj školi, misli se na [[realna funkcija\|realnu funkciju]] [[varijabla\|realne varijable]] , što znači da su [[koeficijent\|koeficijenti]] ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' realni brojevi, a vrijednosti varijable ''x'' realne. Od sada se, ukoliko izrijekom ne bude rečeno drukčije, razmatraju samo takve funkcije <ref>Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, za 2. razred za prirodoslovno -matematičke gimnazije, Školska knjiga, Zagreb, 2006.(ISBN 953-0-21345-X)</ref> ==Karakteristične vrijednosti kubne funkcije == [[Image:Polynomialdeg3.svg\|thumb\|right\|300px\|\|<center><math>f(x) = (x^3 +3x^2 - 6x - 8)/4\, \!</math><center> ]] Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u [[koordinatni sustav\|koordinatnom sustavu]] na [[graf funkcije\|grafu funkcije]] predočavaju [[nultočka\|nultočke]], ekstreme ili prijevojne točke (slika desno). ===Nultočke kubne funkcije=== Kubna funkcija može imati tri nultočke, dvije nultočke od kojih je jedna dvostruka, jednu trostruku nultočku ili jednu (jednostruku) nultočku. Misli se na realne nultočke, a ako se dopuste i kompleksne, onda u posljednjem slučaju, uz rečenu realnu, postoje još i dvije kompleksno-konjugirane. Dakle, uvijek postoji bar jedna realna nultočka. Geometrijski, nultočke se očitavaju iz grafa funkcije: to su prve koordinate točaka u kojima graf funkcije siječe (odnosno dira) ''x''-os. Tako za funkciju <math> f(x):= (x^3 +3x^2 - 6x - 8)/4 \, </math> nultočke su redom brojevi -4, -1, 2, što se vidi i iz grafa koji siječe ''x''-os redom u točkama (-4,0), (-1,0), (2,0). Sve se očituje i na rastavu na faktore: <math> x^3 +3x^2 - 6x - 8 =(x+4)(x+1)(x-2)\, </math>. Drugu mogućnost ilustrira funkcija <math> f(x):= x^3 -2x^2 +x =x(x-1)^2 \, </math>. Tu je 0 jednostruka, a 1 dvostruka nultočka. U koordinatnom sustavu to se očituje tako što graf siječe ''x''-os u točki (0,0),a dodiruje je u točki (1,0) gdje je nultočka dvostruka. Funkcija kubiranja <math> f(x):= x^3 \, </math> kojoj je 0 trostruka nultočka, najjednostavniji je primjer treće mogućnosti. Konačno, posljednju mogućnost ilustrira funkcija <math> f(x):= x^3 +x=x(x^2+1)=x(x+i)(x-i) \, </math> . Vidi se da je 0 jedina (realna) nultočka, dok su ''-i'',''i'' kompleksno-konjugirane. Line 21 ⟶ 22: ==Veza s kubnim polinomom == Obično se smatra da između kubne funkcije i kubnog polinoma nema nikakve razlike. Strogo matematički gledano, to nije tako. Osim zadavanja pravila prema kojemu djeluje, za funkciju je potrebno naznačiti [[područje definicije]] i [[područje vrijednosti]], dok se polinom zadaje koeficijentima i naznačavanjem područja kojemu koeficijenti pripadaju (u pravilu neki [[komutativni prsten]]). Ostatci 0, 1, 2 pri dijeljenju s 3 čine [[polje]] s obzirom na zbrajanje i množenje ~~modulo~~modul 3. Izrazima <math> f(x)=x^3+2x \, </math> i <math> f(x)=2x^3+x \, </math> zadana su dva različita polinoma nad tim poljem (jer su koeficijenti različiti). Također, zadane su i dvije funkcije kojima su i područje definicije i skup vrijednosti to polje. Te su dvije funkcije jednake (sve su im vrijednosti jednake nuli). Dakle različiti polinomi, ali jednake funkcije. == Kompleksna kubna funkcija == Ako su u (1) koeficijenti ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' i vrijednosti varijable ''x'' kompleksni brojevi (tada se varijabla obično označava kao ''z''), onda su i vrijednosti funkcije kompleksni brojevi pa je ''f'' [[kompleksna funkcija]] kompleksne varijable, tj. <math> f\colon \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}</math>. Ona je analitička na cijeloj [[kompleksna ravnina\|kompleksnoj ravnini]] ([[cijela funkcija]])<ref>Šime Ungar, Kompleksna analiza,http://web.math.pmf.unizg.hr/~ungar/kompleksna.pdf</ref> <ref name="Hrk">Hrvoje Kraljević, Odabrana poglavlja teorije analitičkih funkcija, Riemannove plohe, http://web.math.pmf.unizg.hr/~hrk/nastava/2011-12/an_funk_2011_12.pdf</ref>. Kompleksna kubna funkcija ima tri različite nultočke, dvije različite (od kojih je jedna dvostruka) ili jednu trostruku nultočku. Računajući kratnosti, svaka kompleksna kubna funkcija ima tri nultočke. S obzirom na kritične vrijednosti ove se funkcije dijele na dvije skupine,već prema tome koliko njihova derivacija (koja je [[kvadratna funkcija]]) ima nultočaka. U prvoj su, općoj, one koje imaju dvije kritične točke, a to su upravo one za koje ''f' '' ima dvije različite nultočke. One imaju dvije kritične vrijednosti (jer su vrijednosti kubne funkcije u različitim kritičnim točkama nužno različite). U drugoj su, posebnoj skupini, one koje imaju jednu kritičnu točku, a to su one ''f'' kojima derivacija ''f' '' ima dvostruku nultočku. One imaju jednu kritičnu vrijednost (vrijednost funkcije u kritičnoj točki). Svaka takva funkcija oblika je <math> f(z)=a(z-z_0)^3+f(z_0)\ ,z_0</math> joj je kritična točka, a <math> f(z_0) </math> kritična vrijednost. Ona se linearnim transformacijama može svesti na čistu treću potenciju <math>f(z):=z^3</math>. Opće kubne funkcije, one iz prve skupine, linearnim transformacijama mogu se svesti na jednu izabranu, primjerice na <math>f(z):=4z^3-3z</math> ([[Čebiševljev polinom]] prve vrste, trećeg stupnja). Line 33 ⟶ 34: Kubna je funkcija [[meromorfna funkcija]] na [[Proširena kompleksna ravnina\| proširenoj kompleksnoj ravnini]] <ref name="Hrk"/> <math> \mathbb{C}\cup\{\infty\}</math> ([[Riemannova sfera\| Riemannovoj sferi]]) - ima [[pol]] trećeg reda u [[beskonačnost]]i. Razmatrana kao funkcije s Riemannove sfere na Riemannovu sferu, tako de se definira da je <math>f(\infty)=\infty</math>, ona je holomorfna (analitička je i oko beskonačnosti). Drugim riječima, kompleksna kubna funkcija definira razgranato natkrivanje trećeg stupnja s Riemannove sfere na Riemannovu sferu. Beskonačnost (<math>\infty</math>) je točka grananja tog natkrivanja koje općenito ima tri, iznimno dvije točke grananja (uključujući rečenu točku grananja u beskonačnosti). Općenito, [[grupa monodromije]] izomorfna je [[simetrična grupa\|simetričnoj grupi]] <math>\mathbb{S}_3</math>, a iznimno, [[ciklička grupa\|cikličkoj grupi]] trećeg reda <ref>Rick Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol 5, (ISBN 0-8218-0268-2)</ref>. ==Izvori== {{izvori}} [[Kategorija:Algebra]]

Kubna funkcija: razlika između inačica