Matematička formulacija kvantne mehanike: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 36:
== Kada postoji kvantna mehanika? ==
Promotrimo iduću komutacijsku relaciju:
<math>[\hat{p},\hat{q}]=-i \hbar </math>
gdje je <math>\hat{p}</math> operator momenta, <math>\hat{q}</math> operator položaja, te <math>\hbar </math> reducirana Planckova konstanta.
Ova relacija se još naziva Born-Jordanova relacija, te iz nje možemo iščitati kada postoji kvantna mehanika ovisno o definiciji operatora <math>\hat{p}</math> i <math>\hat{q}</math>. Naime, ukoliko je <math>\hbar=0 </math>, tada možemo reći da kvantna mehanika ne postoji zbog Heisenbergovih relacija neodređenosti.
U ovom dijelu ćemo promotriti tri slučaja za operatore <math>\hat{p}</math> i <math>\hat{q}</math>.
1) Uzmimo da su p i q nxn matrice , pri čemu će n prirodni broj, te pretpostavimo da Born-Jordanova relacija vrijedi. Uzimajući trag početne relacije lako se vidi da konstanta mora biti jednaka nuli jer je n proizvoljan. Dakle, <math>\hat{p}</math> i <math>\hat{q}</math> ne mogu biti matrice ako želimo da vrijede zakoni kvantne mehanike.
2) Sada pretpostavimo da su <math>\hat{p}</math> i <math>\hat{q}</math> opservable definirane svuda na Hilbertovom prostoru, te da zadovoljavaju početnu relaciju i da jedna od njih ima svojstveni vektor. Ako su p i q opservable, to znači da su samo-adjungirani operatori jer im spektar mora biti realan. Nadalje operatori <math>\hat{p}</math> i <math>\hat{q}</math> su definirani svuda na Hilbertovom prostoru, to znači da su p i q ograničeni operatori prema Hellinger-Toeplitz teoremu. Uzimajući sve u obzir, može se pokazati da je i u ovom slučaju reducirana Planckova konstanta jednaka nuli.
3) Sada pogledajmo slučaj u kojemu su operatori <math>\hat{p}</math> i <math>\hat{q}</math> definirani na gustom potprostoru Hilbertovog prostora. Naime, ukoliko je barem jedan operator neograničen, pročetna relacija je zadovoljena. Čitatelj može vrlo lako dokazati ovu tvrdnju korištenjem iduće relacije: <math>[\hat{p},\hat{q}^n]=-in\hbar\hat{q}^{n-1}</math>
Ova relacija se može dokazati uz pomoć matematičke indukcije.
[[Kategorija:Kvantna mehanika]]
| |||