Inačica od 8. srpnja 2019. u 11:46 uredi Hatzivelkos (razgovor \| doprinosi) 232 edits uklanjanje izmjene 4171485 suradnika Hatzivelkos (razgovor) Oznaka: uklanjanje ← Starija izmjena		Inačica od 8. srpnja 2019. u 11:47 uredi ukloni ovu izmjenu Mateo K 01 (razgovor \| doprinosi) Automatski ophođeni suradnici, Ophoditelji 11.327 edits m uklonjena promjena suradnika Hatzivelkos (razgovor), vraćeno na posljednju inačicu suradnika MaGaBot Oznaka: brzo uklanjanje Novija izmjena →
Redak 6: == Numeričko integriranje == [[Datoteka:Composite_trapezoidal_rule_illustration.png\|right\|thumb\|Površina ispod funkcije ''f''(''x'') (označene plavom) aproksimira se površinom trapeza ispod po dijelovima linearne aproksimacije (označene crvenom).]] Jedan od najčešćih problema s kojima se susrećemo u numeričkoj analizi je računanje vrijednosti [[Integral\|određenog integrala]] <math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx </math>. Dvije osnovne metode numeričke integracije su proširena [[trapezna formula]] i proširena [[Simpsonova formula]]<ref>http://web.math.pmf.unizg.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf str. 478, pristupljeno: 20. rujna 2013.</ref>. Kod proširene '''trapezne formule''', interval integracije [a,b] podijeli se u ''n'' podintervala uz ~~slijedeću~~sljedeću oznaku: a=x<sub>0</sub><x<sub>1</sub><...<x<sub>n</sub>=b. U svim se točkama razdiobe izračunaju vrijednosti podintegralne funkcije y<sub>i</sub>=f(x<sub>i</sub>), te se nad svakim podintegralom formira trapez spajanjem točaka T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) i T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>). Tim se trapezom, čija je površina jednaka P<sub>i</sub>=(x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>)(y<sub>i</sub>+y<sub>i+1</sub>)/2, aproksimira stvarna površina ispod funkcije ''f(x)'' na tom intervalu. Uz uobičajen postupak ekvidistantne razdiobe, tj razdiobe intervala na ''n'' jednakih podintervala (kod kojeg je x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>=(b-a)/n ), te zbrajanjem površina trapeza konstruiranih nad svim intervalima razdiobe dobijamo trapeznu formulu: :<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx \, \approx \, \frac{b-a}{2n} \cdot(y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \ldots + 2y_{n-1} + y_n) </math> Redak 19: :<math> E(f) = \max_{\xi\in[a,b]} \frac{(b-a)^3}{12n^2} \|f''(\xi)\|.</math> [[Datoteka:Simpsons_method_illustration.svg\|right\|thumb\|Površina ispod funkcije ''f''(''x'') (označene plavom) aproksimira se površinom ispod parabole koja interpolira funkciju u tri zadane točke (označene crvenom).]] Proširena '''Simpsonova formula''', kao i ''trapezna formula'' počinje razdiobom intervala ''[a,b]'' na ''n'', ne nužno, jednakih podintervala. No ovoga puta se na svaka dva podintervala, odnosno kroz točke T<sub>i-1</sub>(x<sub>i-1</sub>,y<sub>i-1</sub>), T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) i T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>) povlači jedinstveno određena [[kvadratna funkcija]] (parabola). Zbog toga kod provođenja Simpsonove formule ''imamo dodatni zahtjev da je broj podintervala n paran''. Računanjem površina ispod tako kontruiranih parabola, te njihovim zbrajanjem dobijamo proširenu Simpsonovu formulu: :<math>\int_a^b f(x) \, dx\approx Redak 32: == Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi == U numeričku analizu spadaju i metode kojima se traži numeričko aproksimativno rješenje "''Cauchyjevog problema''"; [[Diferencijalne_jednadžbe\|diferencijalne jednadžbe]] ssa zadanim početnim uvjetom. Razvijene su metode za numeričko rješavanje običnih, ali i parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Dvije osnovne metode su ''Eulerova metoda'', i familija ''Runge-Kutta metoda''. [[Image:Euler method.svg\|right\|thumb\|Ilustracija Eulerove metode. Plavom bojom je označen graf rješenja diferencijalne jednadžbe, a crvenom bojom graf po dijelovima linearnih aproksimacija]] '''Eulerova metoda ''' je iterativna metoda kojom se računa aproksimacija vrijednosti ''y(x<sub>1</sub>)'' uz poznatu (običnu) diferencijalnu jednadžbu oblika ''' y'=f(x,y) ''' i početni uvjet '''y(x<sub>0</sub>)=y<sub>0</sub>''' (tzv "''Cauchyjev problem''"). Metoda se provodi tako da se početni interval, [''x<sub>0</sub>,x<sub>1</sub>''] (dakle, interval od točke koja je zadana početnim uvjetom, do točke u kojoj želimo izračunati vrijednost funkcije) podijeli na ''n'' jednakih dijelova. Duljinu ''h=(x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>)/n'' zovemo ''korakom'' metode. Zadanom diferenncijalnom jednadžbom oblika '' y'=f(x,y) '' dano je tzv. ''polje smjerova'', odnosno, svakoj točki ravnine pomoću diferencijalne jednadžbe možemo pridružiti vrijednost nagiba tangente. Upravo će nam tangenta u svakoj točki predstavljati linearnu aproksimaciju rješenja diferencijalne jednadžbe. Pomakom za vrijednost koraka ''h'' po ''x''-osi dolazimo do sljedeće točke iterativne metode (na slici označene redom s ''A<sub>0</sub>'', ''A<sub>1</sub>'', ...). Postupak ponavljamo (iteriramo) dok vrijednost na ''x''-osi ne dosegne ''x<sub>1</sub>''. Provedemo li računski opisan postupak dobivamo iterativni algoritam:<ref>http://www.pbf.unizg.hr/hr/content/download/1940/14671/.../3/.../npm11.pdf Pristupljeno: 25. rujna 2013.</ref> <ref>http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat3/node161.html Pristupljeno: 25. rujna 2013.</ref> :<math> x_{i+1} = x_i + h</math> :<math> y_{i+1} = y_i + h \cdot f(x_i,y_i)</math> Metoda se može provesti i nad koracima ''h<sub>i</sub>'' različite duljine, no tada u iterativnoj formuli umjesto konstantne vrijednosti ''h'' koristimo različite duljine koraka ''h<sub>i</sub>''. Lokalna greška metode proporcionalna je kvadratu koraka ''h''. == Izvori == {{~~reflist~~izvori}}

Numerička analiza: razlika između inačica