Inačica od 2. rujna 2016. u 01:45 uredi Ivi104 (razgovor \| doprinosi) Automatski ophođeni suradnici, Administratori sučelja, Ophoditelji, Administratori 20.057 edits m dodana kategorija Paradoksi uz pomoć dodatka HotCat ← Starija izmjena		Inačica od 3. kolovoza 2019. u 19:08 uredi ukloni ovu izmjenu ImeldoMax (razgovor \| doprinosi) 670 edits Nema sažetka uređivanja Novija izmjena →
Redak 2: '''Russellov paradoks''' (poznat i kao '''Russellova antinomija''') dio je osnovne matematike, koji je otkrio [[Bertrand Russell]] 1901., pokazavši da je [[Gottlob Frege\|Fregeova]] [[naivna teorija skupova]] [[kontradikcija\|kontradiktorna]]. Možemo pretpostaviti da za ''bilo koji formalni kriterij'' postoji [[skup]] čiji su članovi oni (i samo oni) objekti koji zadovoljavaju kriterij; ali ta pretpostavka je pobijena skupom koji sadrži skupove koji nisu članovi samih sebe. Ako je takav skup svoj član, to bi bila kontradikcija samoj njegovoj definiciji ''skupa koji sadrži skupove koji nisu članovi samog sebe''. S druge strane, ako takav skup ne sadrži sam sebe, bio bi član samoga sebe po istoj definiciji. Ovo proturječje zove se Russellov [[paradoks]]. Paradoks glasi <center>R = { x : x je skup i x <math>\not\in </math> x } nije skup</center> == Formalni zapis == Do paradoksa dolazimo dokazivanjem da R nije skup. Počinjemo s pretpostavkom da je R skup. Na to ispitujemo vrijedi li da je ''<big>R ∈ R </big>'' Prvo pretpostavljamo da to vrijedi, što znači da je ''R'' element skupa ''R''. Time ispunjava svojstvo koje važi za sve njegove elemente odnosno <math>x \not\in x</math> , čime bi za ''<big>R</big>'' značilo <math>R \not\in R</math> Tako smo dobili ishod suprotan početnoj pretpostavci odnosno '''proturječnost'''. Slijedi zaključak da mora vrijediti <math>R \not\in R</math> Tada pak ''<big>R</big>'' ispunjava [[uvjet]] iz definicije za skup ''<big>R</big>'', što bi značilo da je ''<big>R</big>'' jedan [[element (matematika)\|element]] skupa ''<big>R</big>'' to jest ''<big>R ∈ R </big>'', odnosno s ove strane opet imamo proturječnost. Završni zaključak je da [[pretpostavka]] da je ''<big>R</big>'' skup vodi u proturječnost, odnosno [[kolekcija (matematika)\|kolekcija]] ''<big>R</big>'' nije skup. == Izvori == ~~Neka je R "skup svih skupova koji ne sadrže sami sebe". Skup ''s'' je tada element skupa ''R'' ako i samo ako ''s'' nije element ''s'':~~ *[https://www.math.pmf.unizg.hr/sites/default/files/pictures/ts-skripta-2015.pdf Prirodoslovno matematički fakultet u Zagrebu] Mladen Vuković: Teorija skupova; Zagreb: Sveučilište u Zagrebu, siječanj 2015. str . 3 - 4 ~~<center><math>s \in R \Leftrightarrow s \not\in s</math></center>~~ ~~Iz toga slijedi da je ''R'' podskup ''R'' ukoliko nije podskup samog sebe tj.~~ ~~<center><math>R \in R \Leftrightarrow R \not\in R</math></center>~~ ~~no to je proturječno.~~ ~~{{Mrva-mat}}~~ [[Kategorija:Matematika]] [[Kategorija:Paradoksi]]

Russellov paradoks: razlika između inačica