Kubna jednadžba: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
upotpunjen tekst u cjelini '''Općenita rješenja''' i pojašnjene formule; sitne izmjene |
m zamjena čarobnih ISBN poveznica predlošcima (mw:Requests for comment/Future of magic links) i/ili općeniti ispravci |
||
Redak 1:
Pod '''kubnom jednadžbom''' podrazumijeva se [[jednadžba]] oblika
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \qquad(1) </math>
gdje je ''a'' različit od nule. U nastavi [[matematika|matematike]] u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti ''a'', ''b'', ''c'' i ''d'' [[realni broj
== Rješenja kubne jednadžbe ==
Rješenje kubne [[jednadžba|jednadžbe]], odnosno [[korijen]] pripadnog [[polinom]]a trećeg stupnja
:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad(2)</math>
jest svaki [[broj]] ''x''<sub>0</sub> za kojeg vrijedi <math> ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0 + d = 0. </math> Za jednažbu s [[koeficijent
=== Vieteove formule ===
Redak 26:
* ako je Δ > 0, rješenja su realna i različita
* ako je Δ = 0, rješenja su realna i bar dva su međusobno jednaka (dvostruko ili trostruko rješenje).
Tako nešto općenito nema smisla za jednadžbe s kompleksnim koeficijentima.
=== Cardanova formula ===
Redak 33:
Rješenja te jednadžbe mogu se zapisati tzv. [[Cardano]]vom formulom
:<math>x=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}},}</math>
iz koje se razaznaje da se rješenja mogu predočiti u zavisnosti od koeficijenata koristeći se osnovnim računskim operacijama i drugim i trećim korijenima. Nazivnici zorno pokazuju da formula nema smisla ako je karakteristika polja 2 ili 3. Općenito, a napose unutar [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]], [[drugi korijen]] ima dvije vrijednosti, a treći tri (samo za realne brojeve, prema dogovoru, [[korjenovanje]] je jednoznačna [[algebarska operacija|operacija]]). Zato svaki od [[pribrojnik
Ako je [[karakteristika(algebra)|karakteristika polja]] 2 ili 3 onda ne samo da ne vrijede Cardanove formule, već kubna jednadžba općenito nije rješiva u radikalima. Na primjer, nad poljem od 2 elementa, 0 i 1 sa zbrajanjem i množenjem modulo 2, jednadžba <math>x^3+1=0</math> nije rješiva u radikalima. Naime, uz očito rješenje ''x=1'', preostala dva su rješenje kvadratne jednadžbe <math>x^2+x+1=0</math> koja nije rješiva u radikalima. Slično, jednadžba . <math>x^3+2x+1=0</math> nad poljem s elementima 0,1,2 uz zbrajanje i množenje modulo 3, nema rješenja u tom polju, pa su sva tri rješenja u jedinstvenom proširenju stupnja 3 (koje nije radikalno jer je kubiranje [[bijekcija]] na početnom polju).
Redak 66:
== Primjena kubne jednadžbe ==
Kubna jednadžba ima važne primjene u matematici. Na primjer, dva dugo neriješena klasična problema matematike, [[udvostručenje kocke]] i [[trisekcija kuta]], svode se na rješavanje kubnih jednadžba, prvi na <math>x^3-2=0</math>, a drugi na <math>4x^3-3x-\cos\alpha=0</math> <ref name="Fon"/>. Izvan matematike, jedna važna primjena je kod [[van der Waalsova jednadžba stanja|
:<math>pV^3-(bp+RT)V^2+aV-ab=0.</math>
|