Niz: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja |
Neprecizne tvrdnje u članku ispravljene, članak je malo proširen |
||
Redak 1:
Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom redu, tako da uvijek znamo tko je [[prethodnik]] i [[sljedbenik]] svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).
Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg).
To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva <math>\lbrace 1, 2, 3,..., 20\rbrace</math> pridružili po jednog učenika.
Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).
Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: [[Funkcija | funkciju]] <math>f: \mathbb{N} \rightarrow S</math> zovemo '''niz''' nad skupom S.
Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.
Niz se, umjesto uobičajene notacije <math>f(n)=...</math>, označava sa <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> ili samo <math>(a_n)_n</math> ili <math>(a_n)</math>.
== Primjeri ==
Članovi niza zadanog sa <math>f(n)=\frac{1}{n}</math> izgledaju ovako: <math>(a_n)_1=1, (a_n)_2=\frac{1}{2}, (a_n)_3=\frac{1}{3}, (a_n)_4=\frac{1}{4},...</math>
Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje.
Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.
Sama funkcija može biti definirana sa više od jednog pravila.
Primjer za takvu funkciju je:
<math>g(n):\mathbb{N} \rightarrow S</math>
<math>g(n) :=
\begin{cases}
n, & \mbox{ako je }n\mbox{ is neparan} \\
0, & \mbox{ako je }n\mbox{ paran}
\end{cases}
</math>
Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz joj je domena skup <math>\mathbb{N}</math> (kodomena je skup <math>S=\mathbb{N}_0</math>).
Članovi ovog niza izgledaju ovako: <math>\lbrace 1,0,3,0,5,0,7,0,9,0,... \rbrace</math>
== Važni nizovi ==
Posebno su važni [[aritmetički niz i red|aritmetički niz]] i [[geometrijski niz i red|geometrijski niz]].
|