Elipsa

Ovo je glavno značenje pojma Elipsa. Za značenje u kontekstu književnosti pogledajte Elipsa (figura).

Elipsa je zatvorena krivulja u ravnini, jedna od čunosječnica. Najčešće se definira kao skup točaka za koje se zbroj udaljenosti do dviju čvrstih točaka ne mijenja.

Elipsa:
a = velika poluos
b = mala poluos

Uz zadane dvije točke u ravnini, F₁ i F₂, i duljinu 2a na kojoj su simetrično odabrane točke F₁ i F₂ uz uvjet $2a>d(\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2})$, tada elipsom s fokusima (žarištima) u točkama F₁ i F₂ i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do fokusa F₁ i F₂ jednak 2a.

Elipsa je određena dvjema poluosima: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definira se njenim ekscentricitetom ili eliptičnošću e.

Parametri

Smjestimo li središte elipse u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost |OF₁| = |OF₂| nazivamo linearnim ekscentricitetom elipse e. Numerički ekscentricitet elipse određen je kao

$\varepsilon \,={\frac {e}{a}}<1$

Elipsa je određena velikom poluosi i ekscentritetom, ili velikom i malom poluosi gdje vrijedi

$e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

i

$b={\sqrt {a^{2}-e^{2}}}$

Jednadžba elipse

Jednadžba elipse sa središtem u S(0, 0)

Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i poluosima a i b određena je tzv. kanonskom jednadžbom

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\,$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

${{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}=1$

Jednadžba elipse sa središtem u S(p, q)

Elipsa sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q) i poluosima a i b određena je jednadžbom

$b^{2}(x-p)^{2}+a^{2}(y-q)^{2}=a^{2}b^{2}\,$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

${\frac {(x-p)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-q)^{2}}{b^{2}}}=1$

Tangenta elipse

Tangenta elipse sa središtem u S(0, 0)

Tangenta elipse koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom $\mathrm {T} (x_{0},y_{0})$ na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

$2b^{2}xdx+2a^{2}ydx=0$

odakle slijedi da je

$y'={\frac {dy}{dx}}=\operatorname {tg} \alpha =-{{\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}}$

gdje je α kut između tangente i apscise, te da je jednadžba tangente na elipsu

$y-y_{0}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}(x-x_{0})$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente elipse

${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$

Tangenta elipse sa središtem u S(p, q)

Tangenta elipse koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T $(x_{0},y_{0})$ na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

${2b^{2}(x-p)dx+2a^{2}(y-q)dy}=0\,$

odakle slijedi da je je

$y'={\frac {dy}{dx}}=\operatorname {tg} \alpha =-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}-p}{y_{0}-q}}$

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente elipse

$y-y_{0}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}-p}{y_{0}-q}}(x-x_{0})$

Vidi također

• Ekscentricitet
• Prvi Keplerov zakon