Gaussov problem kruga

Gaussov problem kruga matematički je problem pronalaženja broja točaka kojima su koordinate cijeli brojevi unutar kruga centriranog u ishodištu Kartezijeva koordinatnog sustava.

Krug radijusa 5 centriran u ishodištu ima površinu 25π, približno 78.54, no sadrži 81 cjelobrojnu točku pa je greška približno 2.46. Krug s tek malo manjim radijusom površinom je gotovo identičan, ali sadrži tek 61 točku, rezultirajući većom greškom, oko 9.54. Gaussov problem kruga se, dakle, svodi na pronalaženje funkcije radijusa kruga.

Ovaj je broj aproksimiran površinom kruga pa se problem razlaže na problem određivanja točne ograde aproksimacijske greške i pravog iznosa površine kruga. Prvi značajan korak ka rješenju napravio je veliki njemački matematičar Carl Friedrich Gauss, po kojemu problem nosi ime.

Problem

Neka imamo krug u $\mathbb {R} ^{2}$ centriran u ishodištu s radijusom $r\geq 0$. Gausssov problem kruga je sada problem određivanja točaka oblika $(m,n)$ gdje su oba $m$ i $n$ cijeli brojevi. Kako je jednadžba kruga dana s $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, problem se konkretizira te je ekvivalentan problemu nalaženja parova cijelih brojeva m i n za koje je :$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.$

Rješenje je dano složenim računom numeričke matematike.