Kategorija kriški

U teoriji kategorija u matematici kategorija kriški jest posebna konstrukcija nove kategorije iz stare kategorije i odabranog objekta u njoj. Njeni objekti su morfizmi čija je kodomena taj odabrani objekt.

Neka je ${\mathcal {C}}$ kategorija i $X$ odabrani objekt iz ${\mathcal {C}}$. Kriška nad $X$ (sinonimi: kategorija objekata nad $X$, kategorija kriški nad $X$ ili kategorija morfizama s kodomenom $X$, engleski slice category ili overcategory) ${\mathcal {C}}/X$ je kategorija čiji objekti su parovi $(A,f)$ gdje je $f:A\to X$ morfizam u ${\mathcal {C}}$. Morfizam $u:(A,f)\to (A',f')$ u ${\mathcal {C}}/X$ je morfizam $u:A\to A'$ u kategoriji ${\mathcal {C}}$ takav da sljedeći dijagram komutira

${\begin{matrix}A&\xrightarrow {g} &A'\\f\downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow f'\\X&=&X\end{matrix}}$

Dvojstveni koncept kategorije kokriški (sinonim: kokriška ili kategorija objekata (is)pod $X$) (engl. coslice category ili undercategory) $X/{\mathcal {C}}$ čiji objekti su parovi $(B,g)$, gdje je $g:X\to B$ morfizam u ${\mathcal {C}}$. Morfizmi u $X/{\mathcal {C}}$ su određeni morfizmima $v:B\to B'$ u ${\mathcal {C}}$ za koje sljedeći dijagram komutira

${\begin{matrix}X&=&X\\g\downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow g'\\B&\xrightarrow {v} &B'\end{matrix}}$

Podobjekt objekta $X$ u ${\mathcal {C}}$ je klasa monomorfizama u ${\mathcal {C}}$ s kodomenom $X$ koji su međusobno izomorfni kao objekti kriške ${\mathcal {C}}/X$. Drugim riječima, morfizmi $f:A\to X$ i $f':A'\to X$ predstavnici su istog podobjekta od $X$ ako postoji invertibilni morfizam $u:A'\to A$ takav da $f\circ u=f'$. Kvocijentni objekt objekta $X$ u ${\mathcal {C}}$ je klasa epimorfizama u ${\mathcal {C}}$ s kodomenom $X$ koji su međusobno izomorfni kao objekti kategorije $X/{\mathcal {C}}$ objekata ispod $X$.