Matematička formulacija kvantne mehanike


Matematička formulacija kvantne mehanike bavi se matematičkim formalizmom koji omogućava rigorozni opis kvantne mehanike. Matematička arena na kojoj operiramo je separabilni Hilbertov prostor zajedno s normom, gdje je prostor kvadratno integrabilnih funkcija.

Kvantna fizika
Schrödinger cat.png


Uvod u kvantnu mehaniku

Matematička formulacija kvantne mehanike

Matematički problemi u kvantnoj mehaniciUredi

U kvantnoj mehanici problemi nastaju kada je dimenzija Hilbertovog prostora beskonačna. U ovom dijelu pozabavit ćemo se sa tri primjera koja ukazuju na te probleme.

Primjer 1: Problem svojstvenih vrijednostiUredi

Ako se želi pronaći svojstvene vrijednosti operatora:   rješava se iduća jednadžba:

  

gdje je   svojstvena vrijednost danog operatora, a   svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti. No, može se dogoditi da navedena jednadžba ima samo trivijalna rješenja u Hilbertovom prostoru. Na primjer, ako je operator hamiltonijan za slobodnu česticu, rješava se iduća jednadžba:  

Nju se može rješiti ako je svojstveni vektor u obliku ravnog vala:   no, ova funkcija nije kvadratno integrabilna. Stoga je gornja jednadžba rješiva u Hilbertovom prostoru jedino za  

Ovaj se problem rješava na sljedeći način: Prvo se početna jednadžba zapiše u idućem obliku:   Ako izraz   nije invertibilan, kaže se da   pripada spektru operatora   koji se označava s  . U protivnom se kaže da   pripada rezolventnom skupu  .

Primjer 2: Norma operatoraUredi

Norma operatora   definira se:

   

gdje je H Hilbertov prostor. Ako je norma operatora konačna, kaže se da je operator ograničen, a ako je  , tada se kaže da je operator neograničen. U tom slučaju operator se ne može definirati na cijelnom Hilbertovom prostoru, već se najčešće zahtijeva da je domena operatora gusta u Hilberovom prostoru. Uzmimo za promjer operator položaja:  

Neka je   Vidi se da je   kvadratno integrabilna funkcija, no, kada se na tu funkciju djeluje operatorom položaja rezultirajuća funkcija više nije kvadratno integrabilna, što znači da nije definirana na Hilbertovom prostoru.

Primjer 3: Adjungirani i samoadjungirani operatorUredi

Ako je dan ograničeni operator   definiran na Hilbertovom prostoru, adjungat operatora je dan s   gdje je   označava skalarni produkt. Ako je  , tada se kaže da je operator   samoadjungirani operator. No, ako operator neograničen, tada se može dogoditi da se domene operatora i adjungiranog operatora ne podudaraju.

Kada postoji kvantna mehanika?Uredi

Promotrimo iduću komutacijsku relaciju:

   

gdje je   operator momenta,   operator položaja, te   reducirana Planckova konstanta. Ova relacija se još naziva Born-Jordanova relacija, te se iz nje može iščitati kada postoji kvantna mehanika ovisno o definiciji operatora   i  . Naime, ako je  , tada se može reći da kvantna mehanika ne postoji zbog Heisenbergovih relacija neodređenosti. U ovom dijelu će se promotriti tri slučaja za operatore   i  .

1) Uzmimo da su p i q nxn matrice , pri čemu će n prirodni broj, te pretpostavimo da Born-Jordanova relacija vrijedi. Uzimajući trag početne relacije lako se vidi da konstanta mora biti jednaka nuli jer je n proizvoljan. Dakle,   i   ne mogu biti matrice ako želimo da vrijede zakoni kvantne mehanike.

2) Sada pretpostavimo da su   i   opservable definirane svuda na Hilbertovom prostoru, te da zadovoljavaju početnu relaciju i da jedna od njih ima svojstveni vektor. Ako su p i q opservable, to znači da su samo-adjungirani operatori jer im spektar mora biti realan. Nadalje operatori   i   su definirani svuda na Hilbertovom prostoru, to znači da su p i q ograničeni operatori prema Hellinger-Toeplitz teoremu. Uzimajući sve u obzir, može se pokazati da je i u ovom slučaju reducirana Planckova konstanta jednaka nuli.

3) Sada pogledajmo slučaj u kojemu su operatori   i   definirani na gustom potprostoru Hilbertovog prostora. Naime, ako je barem jedan operator neograničen, pročetna relacija je zadovoljena. Čitatelj može vrlo lako dokazati ovu tvrdnju korištenjem iduće relacije:   Ova relacija se može dokazati uz pomoć matematičke indukcije.

IzvoriUredi

[1] Reed, Michael and Simon, Barry: Methods of Mathematical Physics, Volume 1: Functional Analysis. Academic Press, 1980. See Section III.5.

[2] Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society.