Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Inačica od 27. siječnja 2010. u 16:26
Pod kubnom jednadžbom podrazumijevamo jednadžbu u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 3, dakle jednadžbu općenitog oblika
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}
koja ustvari predstavlja poseban slučaj polinoma n-tog reda gdje je n=2.
Rješenja kubne jednadžbe
Rješenja kubne jednadžbe tj. nultočke kubne funkcije dobiju se rješavanjem jednadžbe:
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0.
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,}
Osobine rješenja jednadžbe Vrsta korijena jednadžbe se određuje po diskriminanti:
Δ
=
−
4
b
3
d
+
b
2
c
2
−
4
a
c
3
+
18
a
b
c
d
−
27
a
2
d
2
.
{\displaystyle \Delta =-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.\,}
ako je Δ < 0, onda jednadžba ima jedan realan i dva kompleksna korijena
ako je Δ > 0, svi su korijeni realni i različiti
ako je Δ = 0, svi su korijeni realni i bar dva su jednaka . Općenita rješenja Općenito rješenje za svaku kubnu jednadžbu
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=\,0}
određeno je kako slijedi:
x
1
=
−
b
3
a
−
1
3
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
+
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
−
1
3
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
−
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
x
2
=
−
b
3
a
+
1
+
i
3
6
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
+
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
+
1
−
i
3
6
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
−
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
x
3
=
−
b
3
a
+
1
−
i
3
6
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
+
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
+
1
+
i
3
6
a
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
−
(
2
b
3
−
9
a
b
c
+
27
a
2
d
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}
Izvor 
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8fdcb363d20258b4ec96f33fc248aae912c9ff)