Kubna funkcija: razlika između inačica

Obrisano 677 bajtova ,  prije 12 godina
stranica nadopunjena sa novim sadržajima
m (robot Mijenja: pl:Równanie sześcienne)
(stranica nadopunjena sa novim sadržajima)
'''Kubna funkcija''' u matematici je svakesvaka [[funkcija]] oblika:
[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|200px|graf kubne funkcije sa tri matematička korijena ]]
:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, \,</math>,
Gdjegdje je ''a'' različito od nule.
 
==Karakteristične vrijednosti kubne funkcije ==
'''Kubna funkcija''' u matematici je svake funkcija oblika:
[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|300px||<center><math>f(x) = x^3 +3x^2 - 6x - 8\, \!</math><center> ]]
Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u [[koordinatni sustav|koordinatnom sustavu]] na grafu funkcije predočavaju, na primjer, nulišta funkcije ili njene ekstreme (slika desno).
===Nulišta kubne funkcije===
U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kubne jednadžbe:
:<math> x^3 +3x^2 - 6x - 8=0 \, </math>
rješenja koje su :
:<math> x_1=-4, x_2=-1, x_3=2 \, </math>
Točke (-4, 0), (-1, 0) i (2, 0 ) predstavljaju zato nultočke grafa kubne funkcije sa slike.
 
Ukoliko općenito graf funkcije siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, u tri točke tada će nulišta funkcije biti [[realni broj]]evi jer su i rješenja kubne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije siječe x-os samo u jednoj točki, tada će kubna jednadžba imati jedno realno rješenje dok će se dva rješenja nalaziti u domeni [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]] i to kao konjugirano-kompleksni par brojeva.
:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\,</math>
 
===Ekstremi kubne funkcije===
Gdje je ''a'' različito od nule.
Kubna funkcija ima dva ekstrema, jedan minimum i jedan maksimum funkcije. Za funkciju
 
:: <math> \Delta y= -4bx^3d3 + b^2c3x^2 - 4ac^3 + 18abcd6x - 27a^2d^2. 8\, </math>
== Rješenja kubne jednadžbe ==
točke ekstrema funkcije nalazimo diferencirajući gornju jednadkost:
Rješenja kubne jednadžbe tj. nultočke funkcije dobiju se rješavanjem sljedeće jednadžbe:
 
:<math>ax dy=3x^32dx +bx^2+cx+d=0.6xdx -6dx \, </math>
=== Osobine rješenja jednadžbe===
Vrsta korijena jednadžbe se određuje po diskriminanti:
:: <math> \Delta = -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2. \,</math>
 
odakle slijedi da je
* ako je Δ < 0, onda jednadžba ima jedan realan i dva kompleksna korijena
* ako je Δ > 0, svi su korijeni realni i različiti
* ako Δ = 0, svi su korijeni realni i bar dva su jednaka .
=== Općenita rješenja ===
Općenito rješenje za svaku kubnu jednadžbu
:<math>a x^3 + b x^2 + c x + d = 0</math>, jest po sljedećoj forumuli:<ref>http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7007111502216</ref>
:<math>\begin{align}
x_1 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
x_2 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
x_3 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}
\end{align}</math>
 
:<math> dy=(3x^2+6x-6)dx \, </math>
 
:<math> y' = \frac{dy}{dx}=3x^2+6x-6 = x^2+2x-2. \, </math>
=== Lagrangeova metoda ===
 
Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0, gdje na temelju rješenja [[kvadratna jednadžba|kvadratne jednadžbe]] zaključujemo da će kubna funkcija imati ekstreme u točkama
=== Cardanova metoda ===
:<math> x_{1,2} =-1\pm \sqrt3 . \, </math>
O vrsti ekstrema (maksimum ili minumum funkcije) zaključuje se iz druge derivacije funkcije.
 
==Literatura==
*Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
*Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
 
[[Kategorija:matematikaMatematika]]
== Izvori ==
{{izvori}}
 
{{mrva-mat}}
[[Kategorija:matematika]]
 
[[ar:دالة تكعيبية]]
[[ca:Equació de tercer grau]]
[[cs:Cardanovy vzorce]]
[[cy:Ffwythiant ciwbig]]
[[da:Tredjegradsligning]]
[[de:Kubische Gleichung]]
[[en:Cubic function]]
[[es:Ecuación de tercer grado]]
[[fi:Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava]]
[[fr:Équation cubique]]
[[he:משוואה ממעלה שלישית]]
[[hi:घन फलन]]
[[hu:Harmadfokú egyenlet]]
[[id:Fungsi kubik]]
[[it:Funzione cubica]]
[[ja:三次関数]]
[[km:អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣]]
[[ko:삼차 방정식]]
[[lo:ຕຳລາຂັ້ນສາມ]]
[[nl:Derdegraadsvergelijking]]
[[pl:Równanie sześcienne]]
[[pt:Equação cúbica]]
[[ru:Кубическое уравнение]]
[[sk:Kubická funkcia]]
[[sv:Tredjegradsekvation]]
[[ta:முப்படியச் சமன்பாடு]]
[[th:สมการกำลังสาม]]
[[uk:Кубічне рівняння]]
[[vi:Phương trình bậc ba]]
[[zh:三次方程]]