Potpuni kvadrat

Prirodni broj koji je kvadrat drugog prirodnog broja naziva se potpuni kvadrat. Na primjer, 9 je potpuni kvadrat jer je 9=3², dok 8 nije. Općenito, iz osnovnog teorema aritmetike proizlazi da je prirodni broj potpuni kvadrat ako i samo ako mu svi prosti brojevi u rastavu na proste faktore ulaze s parnim eksponentima.

Pojam se primjenjuje i u širim okolnostima: element a prstena A (ili, općenitije, skupa A na kojemu je definirana operacija množenja) potpuni je kvadrat ako je a=b² za neki b iz A. Na primjer, broj 8 nije kvadrat u prstenu cijelih brojeva, ali jest u polju realnih brojeva. Naime, broj ${\sqrt {8}}$ je realan i vrijedi $8={\sqrt {8}}^{2}$.

Svaki broj koji je potpuni kvadrat nužno je pozitivan ili 0, ali obratno općenito ne vrijedi. U polju realnih brojeva potpuni su kvadrati (ili, jednostavno, kvadrati) upravo svi pozitivni brojevi, uključujući 0, dok su u polju kompleksnih brojeva svi brojevi kvadrati.