Prosti broj

Prosti brojevi ili prim-brojevi su svi prirodni brojevi djeljivi bez ostatka samo s brojem 1 i sami sa sobom, a strogo veći od broja 1. Prirodni brojevi koji su veći od broja 1 a nisu prosti brojevi nazivaju se složenim brojevima. Na primjer, 5 je prost broj jer je djeljiv samo s 1 i 5, a 6 je složen broj jer osim što je djeljiv s 1 i 6 dodatno može biti podjeljen s brojevima 2 i 3.[1]

Prirodni brojevi od 0 do 100. Prosti brojevi su označeni crvenom bojom.
Eratostenovo sito do broja 120

Osnovni teoremi vezani uz strukturu prostih brojevaUredi

Euklidov teoremUredi

Ovdje ćemo metodom kontradikcije dokazati Euklidov teorem koji kaže da prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Neka je, dakle,   skup svih prostih brojeva,   Promotrimo broj   Tada je očito   No, prema Osnovnom stavku aritmetike svaki se broj može zapisati kao umnožak konačno mnogo prostih brojeva, što daje kontradikciju.

Prostih brojeva oblika   ima beskonačno mnogoUredi

Dokažimo sada da prostih brojeva oblika   ima beskonačno mnogo. Prije svega, jasno je da neparni prosti brojevi mogu isključivo biti u obliku   ili   Uočimo da vrijedi   tj. umnožak dva prosta broja oblika   je i sam tog oblika.

Pretpostavimo da je   skup svih prostih brojeva oblika  

Konstrirajmo sada neparni broj   Očito   daje ostatak 3 pri dijeljenju s 4 pa barem jedan njegov prosti faktor nije u obliku   odnosno barem je jedan faktor u obliku   Jasno je da niti jedan od   ne dijeli   jer očito   daje ostatak   tj.   pri dijeljenju s   To znači da postoji još barem jedan prosti broj oblika   izvan   kontradikcija.

Uloga prostih brojevaUredi

Prosti brojevi služe pri faktorizaciji, odnosno rastavljanju složenih brojeva na proste ili prim-faktore.

U gornjem smo odjeljku spomenuli da se svaki složeni broj može na jedinstven način rastaviti na nekoliko prim-faktora, a ako je broj   prost tada je jedina takva faktorizacija očito  .

  125|5      34|2
   25|5      17|17
    5|5       1 
    1
  
  125=5*5*5   34=2*17

Neka pravila djeljvostiUredi

Ako je broj paran (zadnja znamenka mu je 2, 4, 6, 8 ili 0) onda je djeljiv s prostim brojem 2.

Ako broj završava znamenkama 5 ili 0 onda je djeljiv s prostim brojem 5.

Ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3, onda je taj broj djeljiv s 3.

Ako mu je dvoznamenkasti završetak dijeljiv sa brojem 4, onda je taj broj djeljiv s 4.

Ova pravila možemo međusobno kombinirati. Na primjer, ako je broj djeljiv i s 2 i s 3, onda je taj broj zacijelo djeljiv i s brojem 6.

Ako je troznamenkasti broj djeljiv s 8, onda je taj broj djeljiv s 8,

Ako je zbroj znamenaka nekog broja djeljiv s 9, onda je taj broj djeljiv s 9.

Napomenimo da vrijede i obrati svih sedam gore navedenih tvrdnji.

ZanimljivostiUredi

Poznata je rečenica velikog švicarskog matematičara Leonharda Eulera vezana uz proste brojeve: "Matematičari su uzalud do danas pokušavali otkriti neku pravilnost u slijedu prostih brojeva, a mi imamo razloga vjerovati da je to misterija u koju ljudski um nikada neće prodrijeti."[nedostaje izvor]

IzvoriUredi


  Nedovršeni članak Prosti broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.