Matematička formulacija kvantne mehanike: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja |
|||
Redak 11:
<math>\hat{A}\psi=a\psi</math>
gdje je <math>a</math> svojstvena vrijednost danog operatora, a <math>\psi</math> svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti.
No, može se dogoditi da gornja jednadžba ima samo trivijalna rješenja u Hilbertovom prostoru. Na primjer, ukoliko je operator hamiltonijan za slobodnu česticu, rješavamo iduću jednadžbu:
<math>-\Delta\psi(x)=E\psi(x)</math>
Nju možemo rješiti ukoliko je svojstveni vektor u obliku ravnog vala: <math>\psi(x)=e^{ikx}</math> no, ova funkcija nije kvadratno integrabilna. Stoga je gornja jednadžba rješiva u Hilbertovom prostoru jedino za <math>\psi(x)=0</math>
Ovaj problem rješavamo na idući način: Prvo početnu jednadžbu zapišimo u idućem obliku: <math>(\hat{A}-a\hat{I})psi=0</math>
Ukoliko izraz <math>\hat{A}-a\hat{I}</math> nije invertibilan, kažemo da <math>a</math> pripada spektru operatora <math>\hat{A}</math> kojeg označavamo s <math>\sigma(\hat{A})</math>. U protivnom kažemo da <math>a</math> pripada rezolventnom skupu <math>\rho(\hat{A})</math>.
| |||