Numerička analiza: razlika između inačica

Obrisano 10 bajtova ,  prije 2 godine
m
inetrpunkcije
m (oznaka ne slijedi nikoga)
m (inetrpunkcije)
'''Numerička analiza''' je grana [[Numerička matematika|numeričke matematike]] koja se bavi pronalaženjem i unapređivanjem [[algoritam]]a za numeričko izračunavanje vrijednosti vezanih uz matematičku analizu, poput numeričkog integriranja, numeričkog deriviranja i numeričkog rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Sastavni dio numeričke analize je i ocjenjivanje grešaka metoda (algoritama) i to na dvije razine -- analiza grešaka same metode, te analiza grešaka koje nastaju izvrednjavanjem, a vezane su uz arhitekturu [[računalo|računala]] .<ref>httphttps://web.math.pmf.unizg.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf Pristupljeno: 20. rujna 2013.</ref>.
 
 
Potrebe za numeričkim rješavanjem matematičkih problema su višestruke. Kod nekih problema, dokazano je da analitičko rješenje (rješenje zapisano pomoću elementarnih funkcija) ne postoji -- primjerice rješenje integrala <math> \int e^{x^2} \, dx</math> nemoguće je zapisati pomoću elementarnih funkcija. Pa ipak, određeni integral <math> \int_a^b e^{x^2} \, dx</math> predstavlja konkretnu, jedinstveno određenu površinu. Do te vrijednosti, koja ima široku upotrebu npr. u statistici, moguće je doći samo numeričkim metodama. Osim toga, numeričke metode često se koriste za određivanje rješenja matematičkih problema koji bi zbog svoje veličine, kroz standardni postupak rješavanja, predugo trajali -- primjerice, kada je potrebno riješiti sustav od 10 000 jednadžbi s 10 000 nepoznanica. I konačno, numeričke metode su nezaobilazne u aproksimativnom računu, kada se aproksimacijama (i ocjenama pripadnih grešaka) zamjenjuje stvarna vrijednost funkcije do koje je nemoguće ili preteško doći. To su metode poput [[Metoda konačnih elemenata|metode konačnih elemenata]] ili pak kubičnih splineova kojima se aproksimira ponašanje nepoznate funkcije o kojoj znamo tek konačan broj vrijednosti, najčešće dobivenih mjerenjima.
== Numeričko integriranje ==
 
Jedan od najčešćih problema s kojima se susrećemo u numeričkoj analizi je računanje vrijednosti [[Integral|određenog integrala]]
<math> \int_a^b f(x) \, dx</math>.
 
Dvije osnovne metode numeričke integracije su proširena [[trapezna formula]] i proširena [[Simpsonova formula]].<ref>httphttps://web.math.pmf.unizg.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf str. 478, pristupljeno: 20. rujna 2013.</ref>.
 
Kod proširene '''trapezne formule''', interval integracije [a,b] podijeli se u ''n'' podintervala uz sljedeću oznaku: a=x<sub>0</sub><x<sub>1</sub><...<x<sub>n</sub>=b. U svim se točkama razdiobe izračunaju vrijednosti podintegralne funkcije y<sub>i</sub>=f(x<sub>i</sub>), te se nad svakim podintegralom formira trapez spajanjem točaka T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) i T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>). Tim se trapezom, čija je površina jednaka P<sub>i</sub>=(x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>)(y<sub>i</sub>+y<sub>i+1</sub>)/2, aproksimira stvarna površina ispod funkcije ''f(x)'' na tom intervalu. Uz uobičajen postupak ekvidistantne razdiobe, tj razdiobe intervala na ''n'' jednakih podintervala (kod kojeg je x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>=(b-a)/n ), te zbrajanjem površina trapeza konstruiranih nad svim intervalima razdiobe dobivamo trapeznu formulu:
 
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx \, \approx \, \frac{b-a}{2n} \cdot(y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \ldots + 2y_{n-1} + y_n) </math>.
 
Ocjena greške ove numeričke aproksimacije dana je s:
 
:<math> E(f) = \frac{(b-a)^3}{12n^2} |f''(\xi)|,</math>,
 
gdje je ξ neka vrijednost iz intervala [a,b].
 
Proširena '''Simpsonova formula''', kao i ''trapezna formula'' kreće sa razdiobom intervala ''[a,b]'' na ''n'' (ne nužno) jednakih podintervala. No ovoga puta se na svaka dva podintervala, odnosno kroz točke T<sub>i-1</sub>(x<sub>i-1</sub>,y<sub>i-1</sub>), T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) i T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>) povlači jedinstveno određena [[kvadratna funkcija]] (parabola). Zbog toga kod provođenja Simpsonove formule ''imamo dodatni zahtjev da je broj podintervala n paran''. Računanjem površina ispod tako kontruiranih parabola, te njihovim zbrajanjem dobivamo proširenu Simpsonovu formulu:
 
:<math>\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{b-a}{3n}\bigg[y_0+4y_1+2y_2+4y_3y+2y_4+\cdots+4y_{n-1}+y_n\bigg].</math>.
 
Ocjena greške proširene Simpsonove formule dana je izrazom:
 
:<math>E(f) = \frac{(b-a)^5}{180 n^4} |f^{(4)}(\xi)|,</math>,
 
gdje je ξ neka vrijednost iz intervala [a,b]. Kako u pravilu parabola bolje aprokisimira nasumične funkcije od pravca, Simpsonova formula u pravilu daje točniji rezultat od trapezne formule.
 
U numeričku analizu spadaju i metode kojima se traži numeričko aproksimativno rješenje "''Cauchyjevog problema''"; [[Diferencijalne_jednadžbe|diferencijalne jednadžbe]] s zadanim početnim uvjetom. Razvijene su metode za numeričko rješavanje običnih, ali i parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Dvije osnovne metode su ''Eulerova metoda'', i familija ''Runge-Kutta metoda''.
 
 
 
== Izvori ==
 
{{reflist}}
 
 
 
[[Kategorija:Matematika]]