Teorija kategorija: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka uređivanja |
|||
Redak 1:
'''Teorija kategorija''' je grana matematike koja formalizira zajednice [[Matematička struktura|
Nekolika termina korištenih u teoriji kategorija, uključujući termin "morfizam" se koriste drugačije nego u
[[Saunders MacLane]] i [[Samuel Eilenberg]] su uveli koncepte kategorija, [[Funktor|funktora]] i [[Prirodna transformacija|prirodnih transformacija]] u 1942-45 u
Kategorija teorija ima praktičnu primjenu u [[Teorija programskih jezika|teoriji programskih jezika]], npr. formalizacije semantike programskih jezika i korištenje [[Monad (funkcijsko programiranje)|monada u funkcijskom programiranju]].
▲Kategorija teorija ima praktičnu primjenu u [[Teorija programskih jezika|teoriji programskih jezika]], npr. korištenje [[Monad (funkcijsko programiranje)|monada u funkcijskom programiranju]]. Može se i koristiti kao aksiomatsko temelje za matematiku, kao alternativa [[Teorija skupova|teoriji skupova]] i drugim propoziranim temeljima.
=== Definicija kategorije ===
Kategorija ''C
* Klase (u smislu teorije skupova) Ob(''C''), čiji elementi se zovu objekti;
* Klase Mor(''C''), čiji elementi se zovu [[Morfizam|morfizmi]] ili ''strelice''. Svaki morfizam '''''f''''' ima zadanu ''domenu'' (ili izvor ili objekt izvora) '''a''''' i ''
* strukture ''kompozicije morfizama'' ∘ kojom je, za svaka tri objekta ''a'', ''b'', i ''c'', zadano preslikavanje skupova {{nowrap|∘ : hom(''b'', ''c'') × hom(''a'', ''b'') → hom(''a'', ''c'')}} njihova kompozicija. Kompozicija {{nowrap|''f'' : ''a'' → ''b''}} i {{nowrap|''g'' : ''b'' → ''c''}} se zapisuje {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}} ili ''gf''. Dakle, kompozcija {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}} je definirana ako i samo ako je domena od ''g'' ujedno i kodomena od ''f'', kad kažemo da su ''g'' i ''f'' kompozabilni morfizmi.
Pri tome se zahtijeva da slijedeća dva aksioma budu zadovoljena:
Redak 50:
Za svake dvije kategorije, ''C'' i ''D'', funktor ''F'':''C'' → ''D'' se sastoji od para preslikavanja, ''F''<sub>0</sub>:Ob(''C'') → Ob(''D'') i ''F''<sub>1</sub>:Mor(''C'') → Mor(''D'') pri čemu suženje preslikavanja ''F''<sub>1</sub> na skup Mor(''c'',''x'') prima vrijednosti u skupu Mor(''F''<sub>0</sub>(c),''F''<sub>0</sub>(x)) pa se dakle može promatrati kao
neka funkcija ''F''<sub>''c'',''x''</sub> iz Mor(''c'',''x'') u Mor(''F''<sub>0</sub>(c),''F''<sub>0</sub>(x)) i pri tome se zahtijevaju još
dva uvjeta kompatibilnosti:
vrijedi <math>F_1(h\circ f) = F_1(h)\circ F_1(f)</math>.
Za svaka dva funktora ''F''<sub>0</sub>, ''G''<sub>0</sub>:Ob(''C'') → Ob(''D'') tada možemo govoriti o '''prirodnoj transformaciji''' (ili u suvremenoj literaturi naprosto transformacija) ili '''morfizam funktora''' η : ''F'' →''G'' kao familiji morfizama η<sub>''x''</sub> : ''F''<sub>0</sub>(''x'')→''G''<sub>0</sub>(''x'') u ''D'', indeksiranim s ''x'' u Ob(''C''), pri čemu se zahtijeva da za svaki morfizam ''f'' : ''a'' → ''b'' u ''C'' vrijedi tzv. '''uvjet prirodnosti''': ''G''<sub>1</sub>(''f'') o η<sub>''a''</sub>= η<sub>''b''</sub> o ''F''<sub>1</sub>(''f'') : ''F''<sub>0</sub>(''a'')→''G''<sub>0</sub>(''b''). Morfizam η<sub>''x''</sub> zovemo '''komponentom transformacije''' η na objektu ''x''.
Line 72 ⟶ 73:
Funktor <math>F:D\to C</math> je '''ekvivalencija kategorija''' ako postoji funktor <math>G:D\to C</math> takav da je <math>G\circ F</math> prirodno izomorfno identičnom funktoru <math>Id_C</math>, a <math>F\circ G</math> prirodno izomorfno identičnom funktoru <math>Id_D</math>. U toj situaciji kažemo da je <math>G</math> slabi inverz (ponekad kažemo i kvaziinverz) od <math>F</math>. Spregnuta (ili adjungirana) ekvivalencija funktora je ekvivalencija funktora koji su u sprezi, odnosno u kojoj su izabrani prirodni izomorfizmi funktora <math>\eta:Id_C\to G\circ F</math> i <math>\epsilon:F\circ G\to Id_D</math> koji zadovoljavaju trokutne identitete, <math>\epsilon_{F(c)}\circ F(\eta_c) = id_{F(c)} : F(c) \to F(c)</math> i <math>G(\epsilon_d)\circ \eta_{G(d)} = id_{G(d)} : G(d)\to G(d)</math> za sve izbore objekata <math>c\in Ob(C),d\in Ob(D)</math>. Pojam adjungirane ekvivalencije funktora uveo je Grothendieck u čuvenom članku o homološkoj algebri u Tohoku Mathematical Journal-u pod nazivom ekvivalencija funktora, prije nego je opći pojam adjungiranih funktora opisao Kan.
Kažemo da je
=== Monoidalne kategorije ===
| |||