Wikipedija

Posljednji Fermatov poučak: razlika između inačica

Pregledaj povijest
← Starija izmjenaNovija izmjena →
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
VizualnoWikitekst
m mrvicu jasnije
RpA: WP:NI, WP:HRV
Redak 1:
{{Wikiprojekt 10000/Ikona}}
[[Datoteka:Diophantus-II-8-Fermat.jpg|mini|Izdanje [[Diofant|Diofantove]]ove ''Aritmetike'' iz 1670. godine s dodanim Fermatovim opažanjem (lat. ''Observatio domini Petri de Fermat'') o nemogućnosti razlaganja kuba prirodnog broja na zbroj kubova drugih dvaju prirodnih brojeva, niti ijedne druge više potencije na zbroj istih potencija dvaju prirodnih brojeva.]]
'''Posljednji Fermatov poučak''', poznat i kao '''veliki Fermatov poučak''', jedan je od najpoznatijih [[Poučak|teorema]] u povijesti [[Matematika|matematike]]. Teorem kaže da se ''n''-ta [[potencija]] [[Prirodni broj|prirodnog broja]] ne može razložiti na zbroj ''n''-tih potencija dvaju drugih prirodnih brojeva čim je eksponent ''n'' veći od dva, odnosno da je nemoguće naći tri prirodna broja ''a'', ''b'' i ''c'' takva da je za ''n''>2 <div style="text-align:center">''a<sup>n</sup>'' + ''b<sup>n</sup>'' = ''c<sup>n</sup>''</div>
Za slučajeve ''a''+''b''=''c'' i ''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>=''c''<sup>2</sup> od [[Antika|antike]] je bilo znano da imaju beskonačno mnogo rješenja.<ref>{{Citiranje knjige |title=Fermat's enigma: the quest to solve the world's greatest mathematical problem |author=Simon Singh |dateyear=1997 |url=https://www.worldcat.org/oclc/36969738 |language=en |location=New York |isbn=0-8027-1331-9}}</ref> Rješenja za ''n''=2 nazivala su se [[Pitagorin poučak#Pitagorine trojke|Pitagorine trojke]].
 
== Povijest ==
Poučak je [[Pierre de Fermat]] oko 1637. godine zapisao kao propoziciju na margini [[Diofant|Diofantove]]ove knjige ''Aritmetika'', ali za nj nije ponudio [[Matematički dokaz|dokaz]], pod izlikom da za to nema mjesta. Više od tri stotine godina matematičari su pokušavali dokazati ili opovrgnuti teorem. [[Leonhard Euler|Euler]] ga je dokazao za ''n''=3, Fermat za ''n''=4, [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] i [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] za ''n''=''5'', [[Gabriel Lamé|Lamé]] za ''n''=''7'', a [[Sophie Germain]] za sve eksponente ''n'' koji su [[prosti brojevi]] i za koje je 2''n''+1 također prost.<ref>{{Citiranje weba |url=https://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html |title=Fermat's Last Theorem |author=Eric Weisstein |work=mathworld.wolfram.com |language=en |accessdate=2021-03-02}}</ref><ref>{{Citiranje weba |url=http://www.mathos.unios.hr/~mdjumic/uploads/diplomski/IVA32.pdf |title=Veliki Fermatov teorem |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210302024645/http://www.mathos.unios.hr/%7Emdjumic/uploads/diplomski/IVA32.pdf |archivedate=2021-03-02 |author=Iva Ivanković |year=2011 |format=PDF |publisher=Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku |accessdate=2021-03-02}}</ref> Teorem je, kao posljednji preostali Fermatov teorem bez dokaza, tek 1994. godine naprednim matematičkim metodama iz područja modularnih forma, eliptičnih krivulja i Galoisovih reprezentacija dokazao [[Andrew Wiles]] i za to 2016. godine dobio [[Abelova nagrada|Abelovu nagradu]].<ref>{{Citiranje weba |url=https://www.abelprize.no/c67107/binfil/download.php?tid=67059 |title=The Abel prize 2016 |work=abelprize.no |format=PDF |language=en |publisher=The Norwegian Academy of Science and Letters |accessdate=2021-03-01}}</ref><ref>{{Citiranje weba |url=http://www.ams.org/notices/199507/faltings.pdf |title=The Proof of Fermat’s Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles |author=Gerd Faltings |language=en |publisher=American Mathematical Society |accessdate=2021-03-01}}</ref>
 
== Proširenja teorema na putu k dokazu ==
Redak 15:
* ''a<sup>n</sup>'' + ''b<sup>n</sup>'' = ''c<sup>n</sup>'' nema netrivijalnih rješenja u skupu racionalnih brojeva jer bi se jednadžba mogla pomnožiti ''n''-tom potencijom zajedničkog višekratnika triju nazivnika razlomaka ''a'', ''b'' i ''c'' i tako svesti na jednadžbu za cijele brojeve, a onda i za prirodne.
* ''a<sup>n</sup>'' + ''b<sup>n</sup>'' = 1 nema netrivijalnih rješenja u skupu racionalnih brojeva, jer se jednadžba sličnim rasuđivanjem može svesti na jednadžbu za tri prirodna broja za koju nema rješenja; ovaj oblik je bio posebno plodonosan u potrazi za dokazom jer se problem mogao svesti na pitanje o krivuljama u dvije umjesto u tri dimenzije, te zbog bogatije algebarske strukture [[Polje (matematika)|polja]] racionalnih brojeva od strukture [[Prsten (matematika)|prstena]] cijelih brojeva.
* ako su ''a'', ''b'' i ''c'' rješenja jednadžbe ''a<sup>p</sup>'' + ''b<sup>p</sup>'' = ''c<sup>p</sup>'', gdje je ''p'' prost broj veći od 2, tada je ''y''<sup>2</sup>=''x''(''x−a<sup>p</sup>'')(''x''+''b<sup>p</sup>'') [[eliptična krivulja]] koja nema ''modularnu formu'' (prema Ribetovom teoremu). Andrew Wiles je međutim u svom podugačkom dokazu pokazao da sve jednadžbe tog oblika imaju modularnu formu pa je postojanje rješenja za ''a'', ''b'' i ''c'' dovedeno u kontradikciju.<ref>{{Citiranje časopisa |author=Andrew Wiles |title=Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem |url=https://www.jstor.org/stable/2118559 |dateyear=1995 |journal=Annals of Mathematics |volume=141 |issue=3 |pages=443–551 |id=10.2307/2118559 |accessdate=2021-03-02}}</ref>
 
== Izvori ==
Dobavljeno iz "https://hr.wikipedia.org/wiki/Posljednji_Fermatov_poučak"