Paradoks Banacha i Tarskoga

(Preusmjereno s Poučak Banach-Tarskog)

Paradoks Banacha i Tarskoga teorem je iz teorije skupova geometrije u kojem se navodi sljedeće: Za čvrstu loptu iz trodimenzionalnog prostora postoji razložba te lopte u konačan broj zasebnih podskupova koji se onda mogu ponovno sastaviti na drugačiji način da daju dvije jednake kopije originalne lopte. Doista, proces montaže uključuje samo kretanje figura i njihovo okretanje, bez promjene njihova oblika. Međutim, ovi komadi nisu sami po sebi  "čvrsta tijela", već beskonačno raspršene točke. Rekonstrukcija se može izvesti i sa samo 5 komada.[1]

Može li se lopta rastaviti u konačan broj točaka skupa i ponovo sastaviti se u dvije lopte identične originalu?

Jači oblik teorema implicira da se bilo koja dva "razumna" tvrda predmeta (na primjer, mala lopta i velika lopta), mogu sklopiti jedan u drugi. To se često neformalno spominje kao izraz "grašak se može izreckati i složiti u sunce" i zove se "paradoks graška i sunca".

Razlog zašto se teorem Banacha i Tarskoga zove paradoks jest u tome što se suprotstavlja osnovnoj geometrijskoj intuiciji. "Udvostručenje lopte", dijeljenje nje na dijelove i pomicanje tih dijelova rotacijom i translacijom, bez ikakvih istezanja, savijanja ili  dodavanja novih točaka čini se nemogućim, jer sve te operacije trebaju, intuitivno gledano, zadržati volumen. Intuicija da te operacije čuvaju zadani volumen nije matematički apsurdna i čak je uključena u formalnu definiciju volumena. Međutim, to nije primjenjivo ovdje, jer zbog njihove velike poroznosti nije moguće odrediti volumen podskupova u pitanju. Njihovo ponovno sklapanje reproducira obujam koji je različit od početnog.

Za razliku od većine teorema u geometriji, dokaz ovog rezultata ovisi o krucijalnom odabiru aksioma za teoriju skupova. To može biti dokazano aksiomom izbora koji omogućava izgradnju nemjerljivih skupova, odnosno skupova točaka koje nemaju volumen u uobičajenom smislu te čija izgradnja zahtijeva bezbroj opcija.[2]

Prikazano je 2005. da postoji način kojim se dijelovi nastali razlaganjem mogu pomicati i slagati bez sudaranja.

Poučak Banacha i Tarskoga jedan je od čudnih posljedica aksioma izbora. Sastavljen je 1924. godine. Neka je k ma kako mala, a K ma kako velika kugla. Tada postoje particije:[3]

i

pri čemu vrijedi da je kongruentno odnosno postoji bijekcija koja čuva udaljenost) za sve .

NapomeneUredi

  1. Tao, Terence (2011).
  2. Wagon, Corollary 13.3
  3. Prirodoslovno matematički fakultet u ZagrebuInačica izvorne stranice arhivirana 8. listopada 2019. Mladen Vuković: Neki osnovni pojmovi teorije skupova, 2004. str. 6 (pristupljeno 20. studenoga 2019.)