Radijvektor

Radijvektor, radijusvektor, radijus-vektor ili vektor položaja je vektor ${\vec {r}}$ kojemu je vrh u promatranoj točki P, a početak u nekoj nepomičnoj zadanoj točki O (polu), obično ishodištu nekoga koordinatnog sustava. Uz nepomični pol svaka je točka određena svojim radijvektorom, pa se piše $\mathrm {P} ({\vec {r}})$. Ako je pol u ishodištu Kartezijeva sustava, koordinate radijvektora točke upravo su Kartezijeve koordinate te točke.

Radijvektor ${\vec {r}}$ određuje položaj točke $\mathrm {P}$ u odnosu na pol $\mathrm {O}$. U Kartezijevom sustavu on se može prikazati pomoću projekcija točke na jedinične vektore osi ${\hat {e}}_{x}$, ${\hat {e}}_{y}$, ${\hat {e}}_{z}$ kao ${\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}$.

Formalno je svaki vektor klasa usmjerenih dužina koje se translacijom mogu dovesti jedna u drugu, što znači da imaju jednak smjer i duljinu, pa su radijvektori samo predstavnici svoje klase s početkom u odabranoj točki.

Primjena

U mehanici se jednadžbe gibanja čestica i tijela u prostoru iskazuju pomoću njihova vektora položaja ${\vec {r}}$ te njegovih derivacija, brzine

${\vec {v}}={\dot {\mathbf {r} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {r}}$

i ubrzanja

${\vec {a}}={\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {r}}$.

Ovdje podebljani simboli, jednako kao i strelice, označavaju vektore, a točke iznad simbola prvu i drugu derivaciju po vremenu.

U fizici se Newtonov zakon u slučajevima kada sila nema jednostavnu ovisnost o koordinatama često piše kao diferencijalna jednadžba

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {r}}={\vec {F}}({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}},t)$

što je u Kartezijevom sustavu ekvivalentno trima jednadžbama za svaku od tri ortogonalne komponente radijvektora ${\vec {r}}=(x,y,z)$ i sile ${\vec {F}}=(F_{x},F_{y},F_{z})$:

$m{\ddot {x}}=F_{x}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$

$m{\ddot {y}}=F_{y}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$

$m{\ddot {z}}=F_{z}(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},t)$.

Ovdje je općenito stavljeno da sila u svakom smjeru može ovisiti o svim koordinatama tijela te o svim komponentama njegove brzine.

Drugi Keplerov zakon

Podrobniji članak o temi: Drugi Keplerov zakon

Radijvektor (vektor položaja) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine (plava površina). Zelena strelica prikazuje brzinu (vektor brzine). Ljubičasta strelica usmjerena prema Suncu prikazuje ubrzanje (ostale dvije ljubičaste strelice su komponente ubrzanja, jedna okomita i druga paralelna s brzinom.

Drugi Keplerov zakon glasi:

Radijvektor Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine.

$dv$ je priraštaj kuta $v$ koji odgovara kratkom intervalu $dt$. Za to vrijeme radijvektor prebriše površinu:

$dp={\frac {r^{2}\,\pi }{2\,\pi }}\cdot dv={\frac {1}{2}}\,r^{2}\,dv$

($v$ u radijanima), jer, s obzirom na to da je priraštaj $dv$ vrlo malen, može se površina isječka elipse smatrati površinom isječka kruga s polumjerom $r$. Tako proizlazi:

${\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{2}}\,r^{2}\cdot {\frac {dv}{dt}}$

Ova se veličina naziva površinskom brzinom. Prema drugom Keplerovu zakonu ona je konstantna pa se zakon može napisati kao

$r^{2}\cdot {\frac {dv}{dt}}=C$.