Domena (matematika)

U matematici, domena k-mjesne relacije L ⊆ X₁ × … × X_k je jedan od skupova X_j, 1 ≤ j ≤ k.

U specijalnim slučajevima za k = 2 i L ⊆ X₁ × X₂ je funkcija L : X₁ → X₂, uobičajeno je da se X₁ naziva domena ili područje definicije i X₂ kodomena ili područje vrijednosti.

Domena funkcije

Zadanu funkciju f:X→Y, skup X svih ulaznih vrijednosti zovemo domenom funkcije f, a skup svih mogućih izlaznih vrijednosti Y kodomenom. Slika funkcije f je skup svih stvarnih izlaza {f(x) : x je u domeni}. Ponekad se kodomena netočno zove slikom prilikom nerazlikovanja između stvarnih i mogućih vrijednosti.

Dobro definirana funkcija mora preslikavati svaki element domene u element svoje kodomene. Na primjer, funkcija f definirana sa

f(x) = 1/x

nema definiranu vrijednost za f(0). Stoga, skup R realnih brojeva ne može biti njena domena. U ovakvim slučajevima, funkcija je ili definirana na R\{0}, ili se "rupa" eksplicitno popuni definiranjem f(0). Ako proširimo definiciju f na

f(x) = 1/x, for x ≠ 0

f(0) = 0,

tada je f definirana za sve realne brojeve i možemo odabrati R kao njenu domenu.

Nad bilo kojom funkcijom se može napraviti restrikcija na podskup svoje domene. Restrikcija funkcije g : A → B na S, pri čemu jeS ⊆ A, se piše kao g |_S : S → B.

Domena parcijalne funkcije

Postoje dva različita značenja u trenutnoj matematičkoj uporabi u svezi notacije domene parcijalne funkcije. Većina matematičara, uključujući teoretičare rekurzije, koristi termin "domena funkcije f" za skup svih vrijednosti x takvih da je definirano f(x). Neki (osobito teoretičari kategorija), smatraju da je domena parcijalne funkcije f:X→Y jednaka X, neovisno o tome postoji li f(x) za sve x u X.

Teorija kategorija

U teoriji kategorija, umjesto s funkcijama barata se s morfizmima, koji su jednostavno strelice iz jednog u drugi objekt. Domena bilo kojeg morfizma je stoga objekt iz kojeg strelica započinje. Ovako gledano, mnoge ideje o domenama iz teorije skupova moraju biti ili napuštene, ili preformulirane nešto apstraktnije. Na primjer, notacija restrikcije morfizma na podskup svoje domene mora biti modificirana, uvođenjem koncepta podobjekta.

Kompleksna analiza

U kompleksnoj analizi, domena je otvoreni povezani podskup skupa kompleksnih brojeva.