Otvori glavni izbornik

Integracija pomoću Eulerove formule metoda je rješavanja integrala trigonometrijskih funkcija koje pomoću Eulerove formule pretvaramo u integrale eksponencijalnih funkcija. Ova metoda je često jednostavnija i brža u odnosu na metodu parcijalne integracije ili korištenje trigonometrijskih identiteta u svrhu pojednostavljenja integranda.

Eulerova formulaUredi

Eulerova formula izražava da je:

 

Nadomještajući −x za x nalazimo:

 

Na taj način možemo funkcije sin i cos prikazati kao:

 

Primjer 1Uredi

Razmotrimo integral:

 

Standardan način rješavanja bio bi prikaz cos2x u obliku (1+cos2x)/2, a u namjeri da se pojednostavi integrand. Ukoliko se, međutim, koristi Eulerova formula, nalazimo:

 

Na ovom mjestu postoji mogućnost povrata u područje realnih brojeva koristeći pri tome jednakost: e2ix + e−2ix = 2 cos 2x.

Međutim, postoji i mogućnost integracije eksponencijalne funkcije s imaginarnim eksponentima i transformacija u područje trigonometrijskih funkcija iza integracije:

 

Ovo je, naravno, jednostavan primjer gdje i nije bilo teško primijeniti uobičajenu zamjenu trigonometrijskim identitetom. U prilikama gdje zamjena nije evidentna, upotreba Eulerove formule može biti od očite prednosti.

Primjer 2Uredi

Razmotrimo integral:

 

Ovdje bi nalaženje trigonometrijskog identiteta koji bi pojednostavio integrand bilo izrazito teška. Koristeći, međutim, Eulerovu formula, nalazimo:

 

Na ovom mjestu možemo provesti neposrednu integraciju ili najprije transformirati izraz u područje trigonometrijskih funkcija pa tek tada provesti integraciju. Oba načina na kraju daju:

 

Korištenje realnog dijela Eulerove formuleUredi

Razmotrimo integral:

 

kako je cos x realni dio funkcije eix, znamo da je:

 

Integral na desnoj strani jednakosti lako je vrednovati:

 

Na taj način možemo zapisati, redom:

 

Racionalni izraziUredi

Ova metoda se može općenito koristiti pri vrednovanju bilo kojeg izraza koji uključuje trigonometrijske funkcije. Na primjer, razmotrimo integral:

 

Primjenjujući Eulerovu formula, ovaj integral postaje

 

Primijenimo li sada supstituciju: u = eix, nalazimo integral racionalne funkcije:

 

U tom smislu je svaka racionalna funkcija integrabilna uz primjenu parcijalnih razlomaka u integraciji, gdje na taj način možemo integrirati bilo koji racionalni izraz koji uključuje trigonometrijske funkcije.