Limes (matematika)

Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.

Limes nizaUredi

Neka je   niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz   konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi  . Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz   možemo pisati kao  , gdje su   i   realni nizovi. Ako niz   konvergira k  , onda vrijedi da je   i isto za niz   (što je lako pokazati).

Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.

Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove   takve da   i   vrijedi:

 
 
 
 
 

Limes funkcijaUredi

x  
1 0,841471...
0,1 0,998334...
0,01 0,999983...

Iako funkcija (sin x)/x nije definirana za vrijednost nula, kako se x približava nuli, funkcija (sin x)/x poprima vrijednost sve bližu 1. Drugim riječima, limes funkcije (sin x)/x kada x teži nuli jednak je 1.

Neka je  ,  ,  i   funkcija. Kažemo da ƒ ima limes   u točki c ili da ƒ konvergira prema L kada x teži prema c ako vrijedi   što pišemo  . To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini c i teži k c, a nije baš c (jer mi ne znamo je li c u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema L.

Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je  . Kažemo da ƒ ima limes   u   ako vrijedi