Otvori glavni izbornik

Funkcija (matematika)

Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje članova jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

DefinicijaUredi

Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka   koja sadrži skupove  ,   i neko pravilo   po kojem se svakom članu   pridružuje jedinstveni član   tako da je  .

Skup   se naziva područje definicije ili domena funkcije  , a skup   područje vrijednosti ili kodomena funkcije  . Član domene   je nezavisna varijabla ili argument funkcije  , a član kodomene   je zavisna varijabla funkcije  .

Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo  . Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo  .

Jednakost funkcijaUredi

Funkcije   i   su jednake, što zapisujemo sa  , ako vrijedi:

  1. imaju jednake domene, tj.  ;
  2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj.  .

Na primjer, funkcije   i   nisu jednake. One imaju jednako pravilo pridruživanja, budući da, kada se kod   skrati razlomak, dobijemo  .
Međutim, nemaju jednaku domenu, jer funkcija   nema vrijednost za  . Dijeljenje s nulom nije definirano, pa je domena  , skup realnih brojeva bez nule. Domena  , čitav skup realnih brojeva.

Klasifikacija funkcijaUredi

Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita člana domene koja se preslikavaju u isti član kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo,  
ili ekvivalentnu tvrdnju  .

Slika funkcije f je skup članova iz kodomene na koje se preslikava neki član domene. Sliku funkcije f označavamo s  .

Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni  .
Drugim riječima, za svaki član kodomene postoje jedan ili više članova iz domene koji se u njega preslikavaju tj. ima bar jednu prasliku.
Matematički zapis:  . Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je funkcija identiteta, odnosno funkcija   definirana s  .

Graf funkcijeUredi

 
Graf funkcije  

Graf funkcije   jest skup točaka   ravnine   za koje vrijedi   te čine krivulju. Formalnije, to je skup  .

Vidi jošUredi