Razlomak

U matematici, razlomak je broj koji opisuje jedan ili više jednakih dijelova cjeline.

Kolač podijeljen na četvrtine, s jednom četvrtinom uklonjenom. Svaku četvrtinu opisuje razlomak ¼, a sve tri zajedno razlomak ¾.

Jednostavni ili obični razlomak je količnik koji se dobiva dijeljenjem cijelog broja prirodnim. Zapisuje se pomoću kose crte kao npr. 7/4 ili pomoću vodoravne razlomačke crte npr. ${\tfrac {2}{3}}$ .

Skup svih brojeva koji se mogu zapisati pomoću jednostavnog razlomka zove se skup racionalnih brojeva, a označava se znakom $\mathbb {Q}$ .

Djeljenik se zove brojnik razlomka, a nalazi se lijevo od kose crte ili iznad razlomačke crte. Djelitelj se zove nazivnik razlomka, a nalazi se desno od kose crte ili ispod razlomačke crte.

ZapisivanjeUredi

Pravi razlomak je razlomak čija je apsolutna vrijednost manja od 1, npr. ${\tfrac {2}{3}}$ . Apsolutna vrijednost nepravog razlomka veća je ili jednaka 1, npr. ${\tfrac {5}{2}}$ .

Miješani broj suma je cijelog broja različitog od nule i pravog razlomka. Suma je prikazana bez znaka plus "+". Na primjer, ako imamo dvije torte i tri četvrtine treće torte, imamo $2+{\tfrac {3}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}$ torte. Nepravi razlomak ${\tfrac {d}{c}}$ pretvaramo u miješani broj $a{\tfrac {b}{c}}$ tako da podijelimo brojnik s nazivnikom, tada je cijeli dio količnika a, ostatak je b, a nazivnik c ostaje isti kao na početku.

Dvojni razlomak je razlomak kojemu su brojnik i nazivnik razlomci. Pojednostavljuju se u jednostavan razlomak tako da je novomu razlomku brojnik umnožak vanjskih brojeva, a nazivnik umnožak unutarnjih brojeva. Alternativno, možemo najdulju razlomačku crtu zamijeniti znakom za dijeljenje pa podijeliti dobivene razlomke:

{\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}=1{\tfrac {1}{2}}

Ako je brojnik ili nazivnik dvojnog razlomka cijeli broj tada ga pišemo u obliku razlomka s nazivnikom 1:

{\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\cdot {\tfrac {3}{1}}=24.

OmjerUredi

Razlomak se može pisati i u obliku omjera npr. ${\tfrac {a}{b}}=a:b$ , za koji vrijedi:

(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,

(a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,

(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)

(a,b):(c,d)=(ad,bc){\text{ (za c ≠ 0)}}

Proširivanje razlomakaUredi

Razlomak proširujemo tako da njegov brojnik i nazivnik pomnožimo nekim cijelim brojem c. Prošireni razlomak je jednak početnom razlomku.

{\frac {3}{7}}={\frac {3}{7}}\cdot {\frac {2}{2}}={\frac {3\cdot 2}{7\cdot 2}}={\frac {6}{14}}

Skraćivanje razlomakaUredi

Razlomak skraćujemo tako da njegov brojnik i nazivnik podijelimo nekim cijelim brojem c. U pravilu su brojnik i nazivnik djeljivi brojem c. Skraćeni razlomak jednak je početnom razlomku.

{\frac {5}{10}}={\frac {5:5}{10:5}}={\frac {1}{2}}

Parnost nazivnikaUredi

Vjerojatnost da je nazivnik nekog razlomak paran iznosi 1 : 3 jer imamo tri mogućnosti za brojnik i nazivnik: oba su neparna; brojnik je paran, a nazivnik neparan; brojnik je neparan, a nazivnik paran. Ne promatramo slučaj kad su i brojnik i nazivnik parni, jer se tada razlomak može skratiti i u tom slučaju brojnik ili nazivnik je neparan.

Recipročna vrijednostUredi

Ako imamo jednostavni razlomak ${\tfrac {a}{b}}$ , recipročna vrijednost iznosi mu ${\tfrac {b}{a}}$ .^[1] Recipročna vrijednost cijelog broja a iznosi ${\tfrac {1}{a}}$ . Recipročna vrijednost broja oblika jednostavnog razlomka ${\tfrac {1}{a}}$ iznosi a.

Zbrajanje i oduzimanjeUredi

Prilikom zbrajanja i oduzimanja, razlomci se svode na najmanji zajednički nazivnik. On je najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka. Nakon svođenja na zajednički nazivnik, brojnici se zbroje ili oduzmu ovisno o operaciji.

{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 4}{3\cdot 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.

Ako zbrajamo razlomak i cijeli broj, cijeli broj možemo pisati kao razlomak s nazivnikom 1 te normalno svodimo na zajednički nazivnik te ih zbrojimo.

{\frac {3}{4}}+2={\frac {3}{4}}+{\frac {2}{1}}={\frac {3}{4}}+{\frac {8}{4}}={\frac {11}{4}}=2{\frac {3}{4}}

MnoženjeUredi

Množenje dvaju razlomkaUredi

Razlomci se množe tako da im se pomnože brojnici te nazivnici. Umnožak brojnika postaje brojnik rezultata, a umnožak nazivnika postaje nazivnik rezultata.

{\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{12}}

Prilikom množenja dvaju ili više razlomaka bilo koji brojnik smije se pokratiti s nekim nazivnikom.

{\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\cdot {\tfrac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\tfrac {1}{1}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}

Množenje razlomka cijelim brojemUredi

Cijeli broj zapisujemo u obliku razlomka s nazivnikom 1 te normalno množimo brojnike i nazivnike.

6\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}

DijeljenjeUredi

Razlomke dijelimo tako da djeljenik pomnožimo recipročnim djeliteljem.

{\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}

UspoređivanjeUredi

Razlomke možemo usporediti tako da ih svedemo na zajednički nazivnik te im usporedimo brojnike. Ako imamo mješovite brojeve, zapišemo ih u obliku nepravih razlomaka, svedemo ih na zajednički nazivnik te im usporedimo brojnike. Primijetimo da ne moramo svesti na zajednički nazivnik jer on ne sudjeluje u uspoređivanju brojnika. Zato razlomke ${\tfrac {a}{b}}$ i ${\tfrac {c}{d}}$ uspoređujemo unakrsno. Ako je a · d < b · c, drugi je razlomak veći. Ako je a · d > b · c, prvi je razlomak veći. Inače, razlomci su jednaki.^[2]

Intuitivan prikaz svojstava razlomakaUredi

Ovdje ćemo potanko dokazati svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja razlomaka. Nakon kojih će se, ma kako složen bio, svaki razlomak moći izračunati.

Napomena. Radi jednostavnosti, a bez smanjenja općenitosti, sve varijable koje budemo koristili bit će prirodni brojevi.

1. Svojstvo zbrajanja

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$ . Kako smijemo zbrajati samo polovine s polovinama, trećine s trećinama, ..., takvo pravilo vrijedi i ovdje. Brojevima $b,d$ nađemo $V(b,d)$ odnosno najmanji zajednički višekratnik, ili ih jednostavno pomnožimo, iz čega slijedi pravilo. Ovdje smo koristili očitu jednakost ${\frac {c}{c}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ac}{bc}}$ .

2. Svojstvo oduzimanja

Ovo pravilo direktno slijedi iz svojstva zbrajanja, tj. vrijedi

${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}$ .

3. Svojstvo množenja

Izravno iz definicije razlomka slijedi ${\frac {1}{c}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{bc}}$ .
Dokažimo da vrijedi ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ . Ovdje se zapravo pitamo koliko iznosi $a$ -terostruka $b$ -tina broja ${\frac {c}{d}}$ . To je isto kao da prvo izračunamo $b$ -tinu tog broja pa ju pomnožimo s $a$ . Formalno, ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ , što je i trebalo dokazati. Sada je jasno i da je ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$ .

4. Svojstvo dijeljenja

Pogledajmo odmah primjer dijeljenja dva razlomka. Dokažimo da vrijedi ${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}$ . Naime da imamo primjerice razlomak ${\frac {\frac {a}{b}}{c}}$ , to bi značilo da svaku $a$ -terostruku $b$ -tinu dijelimo na $c$ jednakih dijelova, dakle nazivnik postaje $b\cdot {c}$ . No, ako taj $c$ dijelimo još na $d$ -tine to znači da razlomak postaje $d$ puta veći.

Time su na jednostavan i praktičan način dokazana sva nužna i dovoljna pravila za račun s razlomcima.

Racionalizacija nazivnikaUredi

Nazivnik kao kvadratni korijenUredi

Racionaliziramo nazivnik tako da razlomak proširujemo brojem koji je jednak nazivniku razlomka.^[3]

{\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}

Nazivnik kao viši korijenUredi

Ako je nazivnik oblika ${\sqrt[{n}]{a}}$ , razlomak proširujemo s ${\sqrt[{n}]{a}}^{n-1}$ :

{\frac {10}{\sqrt[{3}]{b}}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{b}}}\cdot {\frac {{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}{{\sqrt[{\cancel {3}}]{b}}^{\cancel {3}}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}{b}}

Nazivnik kao binomUredi

Ako je nazivnik oblika a - b, razlomak proširujemo s a + b.

{\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}

Ako je nazivnik oblika a + b, razlomak proširujemo s a - b.

{\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}

Ovo možemo primijeniti i na kompleksne brojeve gdje je i ² = -1:

{\frac {7}{1+{\sqrt {-5}}}}={\frac {7}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {-5}}}{1-{\sqrt {-5}}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1^{2}-{\sqrt {-5}}^{2}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1-(-5)}}={\frac {7-7{\sqrt {5}}i}{6}}

Imenovanje nazivnikaUredi

Nazivnike je uobičajeno imenovati dodavanjem nastavka -ina na kraj broja.

Nazivnik	Ime	Nazivnik	Ime	Nazivnik	Ime
1	cijelo^[4] ili jednina^[5]	6	šestina	11	jedanaestina
2	polovina	7	sedmina	12	dvanaestina
3	trećina	8	osmina	13	trinaestina
4	četvrtina	9	devetina	14	četrnaestina
5	petina	10	desetina	15	petnaestina

Vidi jošUredi

IzvoriUredi

↑ Recipročni brojevi. Eduvizija. Pristupljeno 28. srpnja 2016.
↑ Uspoređivanje razlomaka - 01. YouTube
↑ Racionalizacija nazivnika. Eduvizija. Pristupljeno 28. srpnja 2016.
↑ Koliko jedno cijelo ima polovina, trećina, četvrtina, ... YouTube
↑ Borjana Brdar, Marijana Hunjek i Nikola Lepen. str. 7 (PDF). Uvođenje skupa racionalnih brojeva. Matematički odsjek, Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu. Pristupljeno 28. srpnja 2016. |url-status=dead zahtijeva |archive-url= (pomoć)

[1] Recipročni brojevi. Eduvizija. Pristupljeno 28. srpnja 2016.

[2] Uspoređivanje razlomaka - 01. YouTube

[3] Racionalizacija nazivnika. Eduvizija. Pristupljeno 28. srpnja 2016.

[4] Koliko jedno cijelo ima polovina, trećina, četvrtina, ... YouTube

[5] Borjana Brdar, Marijana Hunjek i Nikola Lepen. str. 7 (PDF). Uvođenje skupa racionalnih brojeva. Matematički odsjek, Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu. Pristupljeno 28. srpnja 2016. |url-status=dead zahtijeva |archive-url= (pomoć)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]