Zbrajanje

Zbrajanje je osnovna računska operacija,[1] kojom se, kad dvije ili više veličina (brojeva) skupe zajedno, dobiva informacija koliko ih sveukupno ima. Zbrajati se mogu jabuke, kruške, ovčice u snu ili ljudi na plaži (prirodni brojevi), no i volumen tekućina utočenih i istočenih iz spremnika, masa hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi). Također je moguće zbrajati racionalne, realne i kompleksne brojeve, kao i vektore i matrice.

U matematici se zbrajanje nekih izraza predstavlja znakom plus +, npr. 1 + 2 = 3. Brojeve koji se zbrajaju nazivaju se pribrojnici. Rezultat zbrajanja zove se zbroj.

Zbrajati je moguće i nizove. Ako se želi zbrojiti mnogo predvidivih brojeva, kao prirodne brojeve od 1 do 100, to se može ostvariti na dva načina. Jedan je korištenje trotočja, npr. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100. Drugi način je korištenje grčkog slova sigma:

gdje je i indeks, 1 je donja granica, a 100 je gornja granica sume. Općenito, suma je definirana kao:

Ako se zbrajaju poznati brojevi, radi se o aritmetičkoj operaciji, a ako se zbrajaju nepoznanice zbrajanje je algebarska operacija.[2][neaktivna poveznica]

SvojstvaUredi

 
5 + 0 = 5
 
Zbrajanje se može zamisliti kao translacija neke točke na brojevnom pravcu za određenu udaljenost, u ovom slučaju 2 za 4

Zbrajanje je komutativno, što znači da je a + b = b + a, tj. moguće je slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a zbroj se neće promijeniti.

Zbrajanje je i asocijativno, jer vrijedi ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

Broj nula je neutralni element zbrajanja. Za svaki a vrijedi a + 0 = 0 + a = a. Nula se često naziva i aditivni neutral zbrajanja[3].

SljedbenikUredi

U skupu prirodnih brojeva, zbrajanjem broja n i 1 dobije se najmanji prirodni broj veći od n, tzv. sljedbenik broja n. Na primjer, sljedbenik broja 6 je 7. Sljedbenik sljedbenika broja n jednak je n + 2. Poopćenjem k-ti po redu sljedbenik broja n jednak je n + k.

Mjerna jedinicaUredi

Ako se želi zbrojiti fizičke veličine, mora ih se izraziti pomoću istih mjernih jedinica. Na primjer, 2 litre vode i 5 decilitara vode moguće je zapisati kao 20 + 5 = 25 decilitara vode, ili 2 + 0,5 = 2,5 litara vode. Fizičke veličine različitih vrsta poput krušaka i jabuka ne mogu se zbrajati jer ih ne može svesti na iste mjerne jedinice. No, može im se zbrojiti masa.

Pisano zbrajanjeUredi

Brojeve u bazi n zbrajaju se zapisujući ih jedan ispod drugog tako da im se dekadske jedinice podudaraju. Ispod njih se podvlači crta. Zatim se zdesna nalijevo zbrajaju stupac po stupac i zbroj se piše na odgovarajuće mjesto. Ako se zbraja prazninom, praznina se zamjenjuje nulom. Ako zbroj premašuje n - 1, piše se njegov ostatak pri dijeljenju s n te prenosi dalje onoliko jedinica koliko je desetica ostalo u prijašnjem zbrajanju. Primjer u bazi 10:

T S D J , d s
1 0 7 , 9 8
2 5
+ 9 3 8 , 2
1 0 7 1 , 1 8

gdje J predstavlja jedinice, D predstavlja desetice, d predstavlja desetinke itd.

Ovdje se prilikom zbrajanja desetinki prebacivalo 1 dalje, prilikom zbrajanja jedinica prebacivalo 2 dalje te prilikom zbrajanja stotica prebacivalo 1 dalje. Da bi se zbrojili brojevi, na prazna mjesta upisane su nule.

Primjer u bazi 2:

0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0

Ovdje se prilikom svakog zbrajanja prebacivalo 1 dalje.[4]

RazlomakaUredi

Prilikom zbrajanja, razlomci se svode na najmanji zajednički nazivnik. On je najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka. Nakon svođenja na zajednički nazivnik, brojnici se zbroje.[5]

 

Ako se zbrajaju razlomak i cijeli broj, cijeli broj može se pisati kao razlomak s nazivnikom 1, te se potom razlomci normalno svode na zajednički nazivnik i zbrajaju.

 

SkupovaUredi

Zbrajanjem dva skupa A i B dobije se novi skup A + B koji sadrži zbrojeve svakog elementa iz A sa svakim elementom iz B:[6]

 

RedUredi

Red je zbroj članova beskonačnog niza.

 

što znači da se zbrajaju prvih n članova niza, od x1 do xn. Zbroj članova nekog niza zove se red.

Vidi jošUredi

IzvoriUredi

  1. Zbrajanje. Hrvatski jezični portal. Pristupljeno 28. srpnja 2016.
  2. proleksis.lzmk.hr
  3. Neutralni element. Hrvatska enciklopedija. Leksikografski zavod Miroslav Krleža. Pristupljeno 28. srpnja 2016.
  4. Gold, Hrvoje. Binarno zbrajanje. Osnove digitalne elektronike. Pristupljeno 28. srpnja 2016.
  5. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Eduvizija. Pristupljeno 28. srpnja 2016.
  6. Let's Talk About Sets - Numberphile. YouTube