Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).

Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa pridružili po jednog učenika.

Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).

Matematička definicija niza

uredi

Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju   zovemo niz u skupu S.

Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.

Niz se, umjesto uobičajene notacije  , označava sa   ili samo   ili  .

Primjeri

uredi

Članovi niza zadanog sa   izgledaju ovako:  

Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.

Sama funkcija može biti definirana s više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:

 

 

Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup   (kodomena je skup  ).

Članovi ovog niza izgledaju ovako:  

Posebni nizovi

uredi

Posebno se često proučavaju aritmetički niz i geometrijski niz.

Konvergentni nizovi realnih brojeva

uredi

Niz   realnih brojeva konvergira realnom broju  , ako za svako   postoji prirodni broj   takav da[1]:str. 67.

 

Broj   se naziva limes niza  . Kao primjer niz

 

konvergira i limes niza je 0. Rastući i padajući nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matematičkoj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.[1]:69

Izvori

uredi
  1. a b Kurepa, Svetozar, Matematička analiza 2 : funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971.