Niz
Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).
Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa pridružili po jednog učenika.
Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).
Matematička definicija niza
urediTakvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju zovemo niz u skupu S.
Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.
Niz se, umjesto uobičajene notacije , označava sa ili samo ili .
Primjeri
urediČlanovi niza zadanog sa izgledaju ovako:
Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.
Sama funkcija može biti definirana s više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:
Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup (kodomena je skup ).
Članovi ovog niza izgledaju ovako:
Posebni nizovi
urediPosebno se često proučavaju aritmetički niz i geometrijski niz.
Konvergentni nizovi realnih brojeva
urediNiz realnih brojeva konvergira realnom broju , ako za svako postoji prirodni broj takav da[1]:str. 67.
Broj se naziva limes niza . Kao primjer niz
konvergira i limes niza je 0. Rastući i padajući nizovi se nazivaju monotonim nizovima. U matematičkoj analizi osnovni rezultat o nizovima je: svaki ograničen i monoton niz realnih brojeva je konvergentan.[1]:69