Otvori glavni izbornik

Racionalni broj

Racionalni broj (lat. ratio - omjer, razmjer) je broj nastao dijeljenjem cijelog broja sa prirodnim brojem, npr. 1:2, 1:3, 555:333. Skup racionalnih brojeva uveden je zato što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva .

Mogući zapisiUredi

Racionalni broj se može napisati u obliku razlomka   gdje je   x se naziva brojnik, a y nazivnik. Neki primjeri takvog zapisa su:

 

Drugi mogući zapis racionalnog broja je u obliku decimalnog broja. Postoje tri vrste zapisa:[1]

Konačni decimalni broj:

 

zapis koji se pojavljuje kad se u nazivniku kao jedini prim faktori javljaju brojevi 2 i 5.

Periodični decimalni broj:

 

zapis koji se pojavljuje kada se niti broj 2 niti broj 5 ne javljaju kao prim faktori nazivnika, interval znamenki od prve do druge točke se ponavlja (tzv. period) do beskonačnog broja znamenki iza decimalnog zareza.

Mješoviti decimalni broj:

 

zapis koji se pojavljuje kad nazivnik sadrži i prim faktore 2 ili 5 i neke druge prim faktore, znamenka nad kojom je točka se ponavlja do beskonačnog broja znamenki iza decimalnog zareza.

Osnovne operacije s razlomcima[2]Uredi

Razlomci istih nazivnika se zbrajaju tako da se zbroje brojnici, dok je nazivnik rezultata jednak nazivniku razlomaka:

 

Razlomci različitih nazivnika se zbrajaju tako da ih svedemo na najmanji zajednički nazivnik i onda ih zbrojimo:

 

Umnožak dvaju razlomaka jednak je razlomku čiji je brojnik jednak umnošku brojnika, a nazivnik jednak umnošku nazivnika razlomaka koje množimo:

 

Razlomak se dijeli razlomkom tako da se djeljenik pomnoži recipročnom vrijednošću djelitelja:

 

Uređaj u skupu racionalnih brojevaUredi

Dva racionalna broja   i   jednaka su ako je  . Razlomci istih nazivnika se uspoređuju tako da se usporede njihovi brojnici. Veći je onaj razlomak čiji je brojnik veći, i obratno, manji je onaj razlomak koji ima manji brojnik. Ako su nazivnici različiti prethodno se razlomci svode na zajednički nazivnik, pa se onda uspoređuju.

DjeljivostUredi

Ako su a, b, c brojevi iz skupa cijelih brojeva   a je djeljiv s b ako postoji cijeli broj c takav da je a = b × c. Tu činjenicu upotrebljavamo kod "skraćivanja" razlomaka, naime, ako se razlomak   može napisati kao   gdje je   tada su razlomci   i   jednaki.

OstaloUredi

Skup racionalnih brojeva   skup je svih klasa ekvivalencije na skupu   x  , odnosno izomorfan je skupu   = {m/n : m  , n  }.

Dok su skupovi prirodnih   i cijelih   brojeva diskretni, tj. sastoje se od izoliranih točaka, skup racionalnih brojeva   je gust, jer se između svaka dva različita racionalna broja nalazi još beskonačno mnogo racionalnih brojeva.

Skup   je prebrojiv, tj. ekvipotentan skupu prirodnih brojeva  . To znači da između skupa prirodnih i racionalnih brojeva postoji bijekcija, odnosno da ta dva skupa imaju jednak, beskonačan, broj elemenata. Za razliku, skup realnih brojeva   nije prebrojiv skup.

Skup racionalnih brojeva je polje.

IzvoriUredi

  1. Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije), Element, Zagreb, 1996. (str. 4)
  2. Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije), Element, Zagreb, 1996. (str. 5-7)


  Nedovršeni članak Racionalni broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.