Graf funkcije

Graf funkcije f(x) = x4 − 4x na intervalu [-2,+3]. Također su prikazana i dva realna rješenja i globalni minimum na istom intervalu.

U matematici, graf funkcije f je skup svih uređenih parova (x, f(x)). Ako je ulazna funkcija x skalarna, njezin graf (krivulja) ima dvije dimenzije. Ako je zavisna varijabla x uređeni par (x1, x2) realnih brojeva, graf (površina) je skup svih uređenih trojki (x1, x2, f(x1, x2)).

U znanosti, inženjerstvu, tehnologiji, financijama i drugim područjima, grafovi se koriste za različite svrhe. U najjednostavnijem slučaju jedna se varijabla grafički prikazuje kao funkcija druge varijable, obično pomoću pravokutnih osi.

U poljima moderne matematike, poput teorije skupova, funkcija i njezin graf označavaju isti koncept.[1]

Vrste grafovaUredi

Ovisno o najvećoj potenciji nepoznanice, postoji više vrsta grafova:

 
Objašnjenje grafa linearne funkcije.
 
Prikaz osječka pravca na objema koordinatnim osima

Linearna funkcijaUredi

Funkciju   zadanu formulom  , zovemo linearna funkcija, a graf joj iskazujemo pravcem. Varijabla l označava sjecište grafa s y-osi, dok varijabla k izražava nagib pravca. Nagib k može se izračunati kao  ili kao tangens kuta pravca nad x-osi. Derivacija linearne funkcije iskazana je njenim nagibom.

Kvadratna funkcijaUredi

Ako pak funkcija ima oblik  , zovemo ju kvadratna funkcija. Ako je funkcija oblika  , odnosno jednostavnije,  , tad se naziva bikvadratna funkcija. Funkcije ovog oblika su parabole, čija realna rješenja (nultočke[lower-alpha 1]) x1 i x2 nakon izjednačavanja s nulom daju odsječke grafa na x-osi, sukladno formuli  . Tjeme kvadratne funkcije možemo dobiti općom formulom  , ili jednostavnije  , gdje su a, b i c koeficijenti kvadratne funkcije. Ukoliko je varijabla a pozitivna, funkcija prvo pada pa raste, a ako je negativna događa se obrnuto. S obzirom da je najveća potencija funkcije parna (2), funkcija počinje i završava na istoj "strani" grafa. Derivacija kvadratne funkcije je pravac 2ax+b.

Diskriminanta funkcijeUredi

Diskriminanta je vrijednost opisana formulom  , gdje su a, b i c koeficijenti kvadratne jednadžbe, koja nam govori koliko rješenja ima određena kvadratna jednadžba. Ako je vrijednost diskriminante veća od nule, funkcija tad dodiruje x-os u barem dvije točke, a njezina jednadžba ima dva realna rješenja. Ako je D=0, tjeme funkcije leži na x-osi (dodiruje x-os u jednoj točki), a njezina jednadžba ima jedno realno i jedno kompleksno rješenje. Ako je diskriminanta manja od nule, funkcija ne dodiruje x-os, i ima dva kompleksna rješenja.

Funkcije višeg redaUredi

 Podrobniji članak o temi: Polinom
Funkcija oblika   naziva se polinom n-tog reda/stupnja. Svaki se takav polinom može napisati u obliku produkta:  , gdje su x1, x2, ... xn sva rješenja jednadžbe f(x)=0. Racionalna funkcija zadana je formulom  , gdje su g i h polinomi (h ne smije biti nula).

Eksponencijalna funkcijaUredi

Logaritamska funkcijaUredi

Trigonometrijska funkcijaUredi

Oblici jednadžbe pravcaUredi

EksplicitniUredi

ImplicitniUredi

SegmentniUredi

EksponencijalniUredi

Postupak skiciranjaUredi

BilješkeUredi

  1. Pojam nultočke općenito obuhvaća samo realna rješenja neke funkcije, no ne i komplekna

IzvoriUredi

  1. Charles C Pinter [1971] (2014). A Book of Set Theory, str. 49, Dover Publications ISBN 978-0-486-79549-2

Vanjske povezniceUredi