Polinom

Polinom je matematički izraz u obliku uz uvjet

Vidimo da taj izraz sadrži samo varijable i konstante povezane konačnim brojem računskih operacija: zbrajanjem, oduzimanjem i množenjem.

Polinomi imaju ključnu ulogu u proučavanju algebarskih brojeva te se uspješno primjenjuju i u drugim granama znanosti.

DefinicijaUredi

Polinom jedne varijable   jest izraz

 

gdje je  

Ili, kraće:

 

Polinomna funkcija je funkcija definirana polinomom. Polinomna funkcija   jedne varijable je

 

gdje je  

Iznimno, polinom   koji dobijemo stavljajući   nazivamo nulpolinom. Uočimo da je tada   Kažemo da je stupanj nulpolinoma jednak   ili   ovisno o autoru.

Monomi, binomi, trinomi, itd.Uredi

Članovi polinoma nazivaju se monomi. Primjeri monoma su:

 

Polinom koji u temeljnom obliku ima samo dva člana naziva se binom. Polinom s tri člana: trinom. Tako je npr. kvadrat binoma jednak polinomu od dvije varijable:

 

Računske operacije s polinomimaUredi

Dva polinoma možemo zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbrajanje i množenje je komutativno te vrijede uobičajena algebarska pravila.

No, rezultat dijeljenja dva polinoma nije uvijek polinom (primjerice, dijeljenjem polinoma  -tog stupnja s polinomom  -tog stupnja, uz uvjet   nećemo nikada dobiti polinom) dok je kod drugih tri operacija rezultat uvijek neki polinom.

Uočimo da oduzeti dva polinoma možemo tako da polinom koji je u funkciji umanjitelja pomnožimo s   te ga zbrojimo s polinomom umanjenikom.

PrimjeriUredi

Uzmimo   Jednostavno je izračunati njihov zbroj (razliku) i umnožak:   dok je  

Opišmo kako algoritamski podijeliti ova dva polinoma. Ovdje je, radi jednostavnosti, rezultat dijeljenja polinom. Želimo izračunati  

Ta jednadžba je ekvivalentna s   Uočimo da je prvi član polinoma   jednak   pa zapišimo to:


1. korak

    Uočimo da je "ostatak1" neki polinom   Sada imamo   Dobivamo  


2. korak

Jasno je da sada u drugom koraku, tražimo   Očito je sada     Sada je "ostatak2" zapravo nulpolinom čime je završeno dijeljenje (mogli smo uočiti i da je  ).

Rješenje je      .

FaktorizacijaUredi

Računske operacije s polinomima se izvode kao da su monomi zamijenjeni svojim vrijednostima, tj. realnim brojevima. Za faktorizaciju se upotrebljavaju algebarske formule (kao npr. binomni poučak), izlučivanje zajedničkog faktora, grupiranje članova i prikazivanje monoma u obliku zbroja ili razlike.


  Nedovršeni članak Polinom koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.