Polinom

Polinom je matematička funkcija s jednom ili više varijabla koja se može zapisati kao linearna kombinacija umnožaka njihovih potencija, odnosno kao zbroj monoma sastavljenih od umnožaka konstante i kombinacija potencija svake od varijabla. Polinom n-tog stupnja u jednoj varijabli je funkcija[1]

u kojoj su koeficijenti je , ,..., konstante i . Broj zove se slobodni koeficijent, a broj vodeći koeficijent.

Polinomi se skraćeno zapisuju pomoću simbola za zbrajanje,

.

Ponekad se polinomom zove sam polinomni izraz sa zbrojem raznih potencija neke veličine ili izraza, pa se pripadna funkcija navodi kao polinomna funkcija.

Stupanj polinoma za je broj . Pišemo .

Polinomi imaju ključnu ulogu u proučavanju algebarskih brojeva te su česti u drugim granama znanosti poput fizike i računarstva.

Monomi, binomi, trinomi, itd.Uredi

Pribrojnici u polinomu nazivaju se monomi; oni su i sami polinomi s jednim članom. Monom je umnožak konstante i bilo koje kombinacije potencija varijabla. Tako su, na primjer

 ,   ,   ,   

monomi u varijablama  ,   i  .

Polinom koji u temeljnom obliku ima samo dva člana naziva se binom. Polinom s tri člana je trinom. Tako je npr. kvadrat binoma jednak trinomu u dvije varijable:

 
 

Nul-polinomUredi

Ako je polinom jednak nuli za sve vrijednosti svojih varijabli nazivamo ga nul-polinom[1] i za nj ne definiramo stupanj (ili se ponegdje formalno uzima da je njegov stupanj   ili  , ovisno o autoru).

Računske operacije s polinomimaUredi

Dva polinoma možemo zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbrajanje i množenje je komutativno te vrijede uobičajena algebarska pravila. Rezultat dijeljenja dva polinoma nije uvijek polinom: očigledan primjer je dijeljenje polinoma  -tog stupnja polinomom  -tog stupnja kada je  .

Uočimo da oduzeti dva polinoma možemo tako da polinom koji je u funkciji umanjitelja pomnožimo s   te ga zbrojimo s polinomom umanjenikom.

PrimjeriUredi

Uzmimo   i  .

Njihovi zbroj i umnožak su:

 ,
 .

Opišimo kako algoritamski podijeliti ova dva polinoma. Ovdje je, radi jednostavnosti, rezultat dijeljenja polinom. Želimo izračunati  

Ta jednadžba ekvivalentna je s   Prvi član polinoma   jednak je   jer množenjem s   mora dati član s jediničnim koeficijentom najveće potencije 2:  

Ostatak (...) je neki polinom   pa u prvom koraku imamo

 
 .

Dobivamo   čime je problem dijeljenja sveden na dijeljenje polinoma stupnja nižeg za 1.

U drugom koraku rješavamo  .

  može jedino biti polinom stupnja 0 jer množeći   ne smije dati potencije veće od 1:  .

Ostatak (...) može biti samo nulpolinom, tj. 0. Mogli smo uočiti da je  .

Rješenje je  , odnosno  .

Uporaba polinomaUredi

Zbog jednostavnosti računanja s polinomima, posebno njihovog strojnog izvrjednjavanja, vrijedosti mnogih drugih funkcija često se aproksimiraju polinomom određenog stupnja na određenom intervalu. Ako je vrijednost funkcije poznata u konačno mnogo točaka, vrijednosti između točaka mogu se procijeniti interpolacijom iz polinoma koji u tim točkama daje egzaktne vrijednosti[2] ili regresijom uz pomoć polinoma po volji izabranog stupnja koji po svim poznatim točkama daje najmanju pogrešku.

Nultočke polinomaUredi

U primjeni, kao i u teoriji, često je potrebno znati u kojim točkama polinomi poprimaju vrijednost nula. Te se točke nazivaju nultočkama ili korijenima polinoma. Ako je   nultočka polinoma  , vrijedi  . Prema Bézoutovom poučku za polinome,   tada dijeli  .[1] Iz ovog poučka i osnovnog teorema algebre, koji kaže da svaki polinom stupnja većeg od nule ima nultočku u skupu kompleksnih brojeva, slijedi da svaki polinom n-tog stupnja u jednoj varijabli ima točno n nultočaka u skupu kompleksnih brojeva, s tim da pritom neke nultočke mogu biti višestruke kratnosti, odnosno da za neke nultočke može i   dijeliti  , gdje se najveći takav   naziva kratnošću nultočke. Vrijedi i sljedeće: ako su  , , ...,   kompleksne nultočke polinoma   s vodećim koeficijentom  , on se može na jedinstven način zapisati kao umnožak n polinoma prvoga stupnja,[1]

 

IzvoriUredi

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Bujanović, Zvonimir; Muha, Boris. 2018. Elementarna matematika I (PDF). Prirodoslovno-matematički fakultet. Zagreb.
  2. Pavković, Boris. 1990. Polinomi 4. izd izdanje. Školska knjiga. Zagreb. ISBN 86-03-99890-6