Osnovni teorem o racionalnim nultočkama je jedan od temeljnih teorema u algebri .
Tvrdi da ako su
p
,
q
{\displaystyle p,q}
relativno prosti brojevi i ako je
p
q
{\displaystyle {\frac {p}{q}}}
jedna nultočka polinoma
P
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
a
0
{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}
s cjelobrojnim koeficijentima
a
n
,
a
n
−
1
,
.
.
.
,
a
0
∈
Z
,
a
n
,
a
0
≠
0
,
{\displaystyle a_{n},a_{n-1},...,a_{0}\in \mathbb {Z} ,a_{n},a_{0}\neq 0,}
tada
p
|
a
0
{\displaystyle p\vert a_{0}}
te
q
|
a
n
{\displaystyle q\vert a_{n}}
.[1]
Uočimo da je lako vidjeti da je tvrdnja teorema istinita ako je
q
=
1
{\displaystyle q=1}
, tj. ako polinom ima cjelobrojnu nultočku
p
∈
Z
{\displaystyle p\in \mathbb {Z} }
jer tada će očito
p
{\displaystyle p}
dijeliti slobodni član
a
0
{\displaystyle a_{0}}
, a uvjet
q
|
a
n
{\displaystyle q\vert a_{n}}
trivijalno je zadovoljen.
Neka imamo polinom
P
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
0
{\displaystyle P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}
s koeficijentima
a
0
,
…
a
n
∈
Z
.
{\displaystyle a_{0},\ldots a_{n}\in \mathbb {Z} .}
Pretpostavimo da je
p
q
{\displaystyle {\frac {p}{q}}}
nultočka polinoma
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
, tj. da je
P
(
p
q
)
=
0
{\displaystyle P({\frac {p}{q}})=0}
za neka dva relativno prosta broja
p
,
q
∈
Z
{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }
.
Dakle, vrijedi
P
(
p
q
)
=
a
n
(
p
q
)
n
+
a
n
−
1
(
p
q
)
n
−
1
+
⋯
+
a
1
(
p
q
)
+
a
0
=
0.
{\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.}
Pomnožimo obje strane jednakosti s
q
n
{\displaystyle q^{n}}
. Dobivamo
a
n
p
n
+
a
n
−
1
p
n
−
1
q
+
⋯
+
a
1
p
q
n
−
1
+
a
0
q
n
=
0.
{\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.}
Transformirajmo sada jednakost u pogodniji oblik:
p
(
a
n
p
n
−
1
+
a
n
−
1
q
p
n
−
2
+
⋯
+
a
1
q
n
−
1
)
=
−
a
0
q
n
.
{\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}
Dakle,
p
{\displaystyle p}
dijeli
a
0
q
n
{\displaystyle a_{0}q^{n}}
. No, kako su
p
,
q
{\displaystyle p,q}
relativno prosti, prema Euklidovoj lemi su i
p
,
q
n
{\displaystyle p,q^{n}}
također relativno prosti što znači da mora biti
p
|
a
0
{\displaystyle p\vert a_{0}}
.
Slično ćemo transformirati jednakost u ovaj oblik
q
(
a
n
−
1
p
n
−
1
+
a
n
−
2
q
p
n
−
2
+
⋯
+
a
0
q
n
−
1
)
=
−
a
n
p
n
.
{\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}
Analogno slijedi
q
|
a
n
{\displaystyle q\vert a_{n}}
, što je i trebalo pokazati.