Eksponencijalna nejednadžba

Nejednadžba kod koje se nepoznata veličina nalazi na mjestu eksponenta neke potencije zove se eksponencijalna nejednadžba.

Područje definicije

Eksponencijalna nejednadžba je definirana za sve vrijednosti nepoznate veličine x iz domene realnih brojeva.

Jednostavna eksponencijalna nejednadžba

Jednostavnijom eksponencijalnom nejednadžbom možemo smatrati eksponencijalnu nejednadžbu koja sadržava jedan član s nepoznatom veličinom u eksponentu potencije, kao na primjer:

$3^{2(x+1)}>729.\,$

Uvažavajući pravila o računanju s potencijama nalazimo, redom:

${\begin{aligned}3^{2(x+1)}&>3^{6}\\2(x+1)&>6\\2x+2&>6\\2x&>4\\x&>2\\\end{aligned}}$

Rješenje ove eksponencijalne nejednadžbe bit će svaki x iz intervala $\left\langle 2,+\infty \right\rangle$

Složenije eksponencijalne nejednadžbe

Složenije eksponencijalne nejednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi u eksponentu neke potencije, a gdje se nejednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka nejednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak.

Primjer 1

Zadana je eksponencijalna nejednadžba:

$4^{(x^{2}-3x+2)}<16^{(x-1)}.$

Slijedom pravila koja vrijede u računanju s potencijama, rješavajući nejednadžbu nalazimo, redom:

${\begin{aligned}2^{2(x^{2}-3x+2)}&<2^{4(x-1)}\\2x^{2}-6x+4&<4x-4\\2x^{2}-10x+8&<0/:2\\x^{2}-5x+4&<0\\\end{aligned}}$

Rješavajući nađenu kvadratnu nejednadžbu nalazimo da je rješenje kvadratne nejednadžbe svaki x iz intervala $\left\langle 1,4\right\rangle$, gdje je isti interval i skup rješenja zadane eksponencijalne jednadžbe.

Primjer 2

Zadana je eksponencijalna nejednadžba oblika:

$3\cdot 4^{x}+2\cdot 9^{x}>5\cdot 6^{x}$

Rješavajući nejednadžbu nalazimo, redom:

${\begin{aligned}3\cdot 2^{2x}+2\cdot 3^{2x}&>5\cdot 2^{x}3^{x}/:(2^{x}3^{x})\\3{\frac {2^{x}}{3^{x}}}+2{\frac {3^{x}}{2^{x}}}&>5\\3{{\bigg (}{\frac {2}{3}}{\bigg )}}^{x}+2{{\bigg (}{\frac {3}{2}}{\bigg )}}^{x}&>5/supstitucija:{{\bigg (}{\frac {2}{3}}{\bigg )}}^{x}=y\\3y+2{\frac {1}{y}}-5&>0/\cdot y\\3y^{2}-5y+2&>0\\\end{aligned}}$

Rješavajući nađenu kvadratnu nejednadžbu po y nalazimo da je skup rješenja kvadratne nejednadžbe svaki y iz intervala $\left\langle {\frac {2}{3}},1\right\rangle$. Uzevši u obzir supstituciju gdje je (2/3)^x = y, dolazimo i do konačnog rješenja početne eksponencijalne nejednadžbe gdje je rješenje svaki x iz intervala $\left\langle 1,0\right\rangle$.

Primjer 3

Zadana je eksponencijalna nejednadžba oblika:

$27^{(x^{2}-3x-3)}-{{\bigg (}{\frac {1}{27}}{\bigg )}}^{x}>0$

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

${\begin{aligned}{3}^{3(x^{2}-3x-3)}&>3^{-3x}\\3(x^{2}-3x-3)&>-3x\\3x^{2}-9x-9&>-3x\\3x^{2}-6x-9&>0/:3\\x^{2}-2x-3&>0\\\end{aligned}}$

gdje rješavajući nađenu kvadratnu nejednadžbu nalazimo da je rješenja kvadratne nejednadžbe svaki x iz intervala $\left\langle -\infty ,-1\right\rangle$ i $\left\langle 3,+\infty \right\rangle$, što je ujedno i skup rješenja zadane eksponencijalne nejednadžbe.