Wilsonov teorem: razlika između inačica

Kako je <math> M(a, n) = 1, </math> prema [[Bezoutov identitet|Bezoutovom identitetu]] slijedi da postoje <math> k, l \in \mathbb{Z} </math> takvi da je <math> ak + nl = 1. </math> Odavde dobivamo <math> akb + nlb = b. </math> Sada zbog toga što <math> n \mid nlb </math> vrijedi <math> akb \equiv b \pmod n. </math> Stavljamo <math> x := kb, </math> što je rješenje početne kongruencije. Dakako, prema gornjoj napomeni, rješenja su i svi brojevi kongruentni <math> x </math> modulo <math> n. </math> No, trebamo pokazati da su to sva rješenja. U tu svrhu, pretpostavimo da postoji neko drugo rješenje, <math> y \not\equiv x \pmod n. </math> Imali bismo, <math> ax \equiv b \pmod n, ay \equiv b \pmod n, </math> no to povlači <math> ax \equiv ay \pmod n. </math> Odatle (jer je <math> M(a, n) = 1 </math>) dobivamo <math> x \equiv y \pmod n,</math> što je kontradikcija. Time je dokazana jedinstvenost rješenja.