Wilsonov teorem

Wilsonov teorem je jedan od najvažnijih teorema elementarne teorije brojeva koji tvrdi da ako je prost broj, vrijedi

Teorem je prvi iskazao arapski matematičar Ibn al-Haytham još u 10. stoljeću, no ponovno je iskazan u 18. stoljeću od strane engleskih matematičara Johna Wilsona i Edwarda Waringa. Ipak, ovaj je teorem dokazao veliki talijanski matematičar Joseph-Louis Lagrange 1771. godine.[1]

DokazUredi

Ovdje ćemo iznijeti elementarni dokaz ovoga teorema koji koristi tzv. modularne multiplikativne inverze. No, prije svega ćemo dokazati sljedeću lemu.

Lema. Ako su   relativno prosti, tada za svaki cijeli broj   postoji jedinstveno rješenje kongruencije  

Napomenimo da je rješenje kongruencije svaki   oblika  

Kako je   prema Bezoutovom identitetu slijedi da postoje   takvi da je   Odavde dobivamo   Sada zbog toga što   vrijedi   Stavljamo   što je rješenje početne kongruencije. Dakako, prema gornjoj napomeni, rješenja su i svi brojevi kongruentni   modulo   No, trebamo pokazati da su to sva rješenja. U tu svrhu, pretpostavimo da postoji neko drugo rješenje,   Imali bismo,   no to povlači   Odatle (jer je  ) dobivamo   što je kontradikcija. Time je dokazana jedinstvenost rješenja.

Dakle, sva rješenja su u parovima kongruenta modulo   Valja napomenuti da rješenje za   zovemo multiplikativnim inverzom broja   modulo  

Sada je lako dokazati Wilsonov teorem. Naime, svaki je od brojeva   relativno prost s   pa nam prethodna lema može pomoći. Prema gornjoj lemi, svaki od faktora   ima svoj multiplikativni inverz modulo   osim faktora koji su sami sebi inverzni modulo   Nađimo sve takve faktore. Neka je   te neka je   za koji vrijedi   Tada   Kako je   prost i   slijedi (prema Euklidovoj lemi) da postoje samo dva takva broja   ili   No,   ali su prema gornjoj lemi rješenja svi brojevi kongruentni s   modulo   Očito je onda i broj   uz   rješenje gornje kvadratne kongruencije. (Ovo se moglo zaključiti i preko toga da je jedini element iz   koji zadovoljava   upravo broj   i slično jedino   zadovoljava  )

Sada je jasno da brojeve   možemo rasporediti u parove (na jedinstveni način) tako da je umnožak brojeva u svakom paru kongruentan   modulo   Dakle, jedino faktori broja   koji ostanu nespareni su   pa je   Prema tome,   što je i trebalo dokazati.[2]

Obrat Wilsonova teoremaUredi

Lako je pokazati da vrijedi i obrat Wilsonova teorema. Naime, neka je   i pretpostavimo da   nije prost. Tada   ima djelitelj   pa   dijeli i broj  . No, tada   mora dijeliti i  , što je kontradikcija.

ZanimljivostiUredi

Zbog obrata Wilsonova teorema, ovaj teorem može poslužiti i kao ispit prostosti nekog prirodnog broja, tj. moguće je pomoću Wilsonovog teorema dokazati je li neki prirodan broj prost ili nije. Ipak, unatoč tomu što ovo unikatno svojstvo prostih brojeva izgleda primamljivo, u praksi je rijetka pojava da je to svojstvo korisno koristiti kao test prostosti nekog većeg prirodnog broja.

IzvoriUredi

  1. https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Wilson%27s_Theorem
  2. I. Matić, Uvod u teroju brojeva, Odjel za matematiku Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku, 2013, skripta.