Linearna nezavisnost: razlika između inačica
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Redak 5:
<math>v</math> linearno zavisan.<ref>Sheldon Axler, Linear algebra done right, Springer, 2015.</ref>
==Baza vektorskog prostora==
==== Konačnodimenzionalni slučaj ====
Neka je <math>B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}</math> baza vektorskog prostora <math>V</math>. Tada je
svaki <math>v_i</math> linearno nezavisan od preostalih <math>v_j, i \neq j</math>.
Zato se i skup <math>\{v_1, v_2, ..., v_n\}</math> naziva ''bazom'' jer je linearnom kombinacijom vektora <math>v_1, v_2, ..., v_n</math> moguće dobiti svaki vektor iz vektorskog prostora <math>V</math>.
==== Steinitzov teorem ====
Svake dvije baze netrivijalnog konačnogeneriranog vektorskog prostora <math>V</math> su jednakobrojne (ekvipotentne). (Kažemo da je vektorski prostor <math>V</math> netrivijalan ako i samo ako vrijedi <math>V \neq \{0\}</math>.
Dokaz. Netrivijalni konačnogenerirani vektorski prostor <math>V</math> ima bazu. Neka su sada <math>B_1, B_2 </math> bilo koje dvije baze prostora <math>V</math>. Označimo <math> B_1 = n_1, \text{card}B_2 = n_2 </math> (<math>\text{card}B</math> je kardinalni broj skupa <math>B</math>, dakle broj elemenata tog skupa).
Kako je <math>B_1</math> linearno nezavisan skup, a <math>B_2</math> je sustav izvodnica, slijedi <math>n_1 \leq n_2</math>. Obrnuto, kako je <math>B_2</math> linearno nezavisan skup, a <math>B_1</math> je sustav izvodnica, vrijedi <math>n_2 \leq n_1</math>. Očito mora biti <math>n_ = n_2</math> pa su dvije baze zaista jednakobrojne.
== Linearno nezavisan skup ==
| |||