Linearna nezavisnost

Linearna nezavisnost vektora temeljni je pojam u linearnoj algebri, a odnosi se na skupove vektora čijim se linearnim kombinacijama svi vektori u vektorskom prostoru ili nekom njegovom potprostoru mogu prikazati na jedinstven način.[1][2][3] Skup vektora je linearno nezavisan ako je jedina linearna kombinacija tih vektora koja daje nulvektor ona u kojoj su svi koeficijenti jednaki nuli. Formalno, konačan skup vektora koji je podskup vektorskog prostora nad poljem linearno je nezavisan ako iz

slijedi
Ovdje su koeficijenti iz , a nulvektor u . Beskonačan skup je linearno nezavisan ako je takav svaki njegov konačan podskup.[2]

Skup vektora koji nije linearno nezavisan je linearno zavisan skup, a u njemu se nulvektor može dobiti linearnom kombinacijom vektora u kojoj barem jedan koeficijent nije 0.[2] Skup vektora je linearno zavisan ako i samo ako u njemu postoji vektor koji je linearna kombinacija preostalih vektora skupa.[3]

Baza vektorskog prostoraUredi

Pojam u linearnoj algebri koji je usko vezan uz linearnu nezavisnost vektora svakako je baza vektorskog prostora. Naime, neki vektori su linearne kombinacije drugih vektora pa će imati smisla izdvojiti one koji linearnim kombinacijama tvore druge vektore, a sami nisu tako prikazivi, osim na trivijalan način (skaliranjem). Skup takvih linearno nezavisnih vektora koji čine vektorski prostor zvat ćemo dakle bazom vektorskog prostora.

Konačnodimenzionalni slučajUredi

Neka je   baza vektorskog prostora  . Tada je svaki   linearno nezavisan od preostalih  .

Zato se i skup   naziva bazom jer je linearnom kombinacijom vektora   moguće dobiti svaki vektor iz vektorskog prostora  .[4]

Steinitzov teoremUredi

Svake dvije baze netrivijalnog konačnogeneriranog vektorskog prostora   su jednakobrojne ili ekvipotentne. (Kažemo da je vektorski prostor   netrivijalan ako i samo ako vrijedi  .)

Dokaz. Netrivijalni konačnogenerirani vektorski prostor   ima bazu. Neka su sada   bilo koje dvije baze prostora  . Označimo   (  je kardinalni broj skupa  , dakle broj elemenata tog skupa).

Kako je   linearno nezavisan skup, a   je sustav izvodnica, slijedi  . Obrnuto, kako je   linearno nezavisan skup, a   je sustav izvodnica, vrijedi  . Očito mora biti   pa su dvije baze zaista jednakobrojne.

PrimjeriUredi

Jedan od zornih geometrijskih primjera vektorskog prostora je svakako skup usmjerenih dužina u realnoj ravnini,   sa svojim pravilima za zbrajanje vektora i množenjem skalarima. Nije teško geometrijski pokazati da je taj skup zaista jedan vektorski prostor.

Znajući pravilo za zbrajanje vektora i poznavajući elementarnu geometriju, lako je zaključiti da bazu   čine točno dva nekolinearna vektora, neka su to  . Tada su   linearno nezavisni. Naime, svaku drugu usmjerenu dužinu u   moguće je dobiti linearnom kombinacijom baznih vektora  .

Kartezijev koordinatni sustavUredi

Geometrijski, odabirom vektora   mijenjamo oblik koordinatnog sustava. No, tom transformacijom sve dužine (i pravci) koje su bile paralelne su i ostale paralelne te je ishodište ostalo na svome mjestu (jer je   povlači  ).

Takav izmijenjeni Kartezijev koordinatni sustav često se naziva kosokutni koordinatni sustav, jer vektori   ne moraju činiti pravi kut.

IzvoriUredi

  1. Axler, Sheldon. 2015. Linear algebra done right 3. izdanje. Springer. ISBN 978-3-319-11080-6
  2. a b c Franušić, Zrinka; Šiftar, Juraj. 28. siječnja 2021. Linearna algebra 2: skripta za nastavničke studije na PMF-MO (PDF). Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu
  3. a b Bakić, Nenad. Linearna algebra (PDF) (skripta). Prirodoslovno-matematički fakultet Sveučilišta u Zagrebu. Inačica izvorne stranice arhivirana (PDF) 24. srpnja 2021.
  4. Kraljević, Hrvoje. 2007. Vektorski prostori (PDF). math.pmf.unizg.hr. Pristupljeno 2. srpnja 2021.