Vektorski prostor

Vektorski ili linearni prostor jedna je od osnovnih algebarskih struktura u matematici i osnovni objekt proučavanja u grani algebre koju zovemo linearna algebra. Pojam vektorskog prostora nastao je apstrakcijom i poopćavanjem algebarske strukture na skupu svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije. Primjene su široke i uključuju temeljne discipline kao što su analiza i analitička geometrija.

Vektorski prostor je algebarska struktura inspirirana skupom svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije.

Definicija

Vektorski prostor definira se na sljedeći način:

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na zbrajanje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element bilježimo znakom ${\vec {0}}$ ili o i zovemo nulvektor ili nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na binarne operacije zbrajanja i množenja (u apstraktnom smislu) označavamo s 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × V → V, koje svakom skalaru $\alpha \in F$ i svakom vektoru ${\vec {v}}\in V$ pridružuje vektor $\alpha \,{\vec {v}}\in V$, tako da vrijede sljedeći aksiomi:

1. $\alpha (\beta {\vec {v}})=(\alpha \beta ){\vec {v}}$ za sve $\alpha ,\beta \in F$ i ${\vec {v}}\in V$
2. $\alpha ({\vec {v}}+{\vec {w}})=\alpha {\vec {v}}+\alpha {\vec {w}}$ za sve $\alpha \in F$ i ${\vec {v}},{\vec {w}}\in V$
3. $(\alpha +\beta ){\vec {v}}=\alpha {\vec {v}}+\beta {\vec {v}},\forall \alpha ,\beta \in F,\forall {\vec {v}}\in V$ za sve $\alpha ,\beta \in F$ i ${\vec {v}}\in V$
4. $1{\vec {v}}={\vec {v}},\forall {\vec {v}}\in V$ za sve ${\vec {v}}\in V$

Ovako definirano preslikavanje zove se množenje vektora skalarom, dok se V opremljen tim preslikavanjem naziva vektorski prostor nad poljem F ili F-vektorski prostor.

Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad tijelom, dakle u većoj općenitosti kad je F tijelo. Doslovno ponovljena gornja definicija gdje je F tijelo određuje lijevi vektorski prostor nad F. Desni vektorski prostori definiraju se analogno, pri čemu je množenje skalarom zdesna, V × F → V.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom kvaterniona, kvaternionski vektorski prostori.

Svojstva

Linearne kombinacije vektora i linearna ljuska

Neka je $S\subset V$ podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor ${\vec {v}}$ linearna kombinacija elemenata od $S$ ako se da napisati u obliku $\alpha _{1}{\vec {v}}_{1}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v}}_{k}$ gdje je $k$ prirodni broj i gdje su $v_{1},\ldots ,v_{k}\in S$ i $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\in F$. Također možemo reći da je $\alpha _{1}{\vec {v}}_{1}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v}}_{k}$ linearna kombinacija vektora $v_{1},\ldots ,v_{k}$. Kažemo da je $W\subset V$ je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz $W$ i sama u $W$.

Ako je $S\subset V$ ma koji skup vektora, tada je njegova linearna ljuska ${\text{span}}_{F}(S)$ skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz $S$. To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži $S$.

Linearni operatori

Preslikavanje $L:V\to W$ među skupovima vektora dva vektorska prostora $V$ i $W$ nad istim poljem ili tijelom $F$ zovemo aditivnim ako $L({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=L({\vec {v}}_{1})+L({\vec {v}}_{2})$ za svaka dva vektora $v_{1},v_{2}\in V$, homogenim ako $L(\alpha {\vec {v}})=\alpha L({\vec {v}})$ za sve $\alpha \in F,{\vec {v}}\in V$ i linearnim ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom ili linearnom transformacijom među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator često se izostavlja.

Afini prostor

Ako je F polje, skup A opremljen djelovanjem $A\times V\to A,(a,{\vec {v}})\mapsto t_{\vec {v}}(a)$, translacijom za vektor Abelove grupe V, zovemo afini prostor (nad poljem F) ako je to djelovanje slobodno i tranzitivno. Elemente od A zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora ${\vec {v}}\in V$ na točki $a$ označava se s $t_{\vec {v}}(a)$ ili $a+{\vec {v}}$ i tumači kao translacija točke $a$ za vektor ${\vec {v}}$.

• Uvjet slobodnosti znači da ako je $a+{\vec {v}}=a$ za neki $a$ tada je ${\vec {v}}={\vec {0}}$.

• Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke $a,b\in A$ postoji vektor ${\vec {v}}\in V$ takav da je $a+{\vec {v}}=b$.
• Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s ${\vec {v}}=b-a$.

Ovo reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka $(a,b)$ koji su krajevi usmjerene dužine, a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se translacijom mogu prevesti jedna u drugu, odnosno ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.

Unitarni prostori

Realni vektorski prostor $V$ opremljen bilinearnom preslikavanjem $\left\langle ,\right\rangle :V\times V\to$ koje je linearno u oba argumenta (bilinearno preslikavanje), pozitivno definitno i simetrično zovemo realni unitarni prostor.

Konačnodimenzionalni realni unitarni prostor ponekad nazivamo Euklidski vektorski prostor. Pod Euklidskim prostorom u modernom smislu, međutim, češće podrazumijevamo konačnodimenzionalni afini prostor čiji vektorski prostor translacija je realni unitarni prostor.

Literatura

Teorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora u potpunosti je izložena u knjizi Svetozar Kurepa: Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. Knjiga sadrži i zadatke kao uvod u samostalni rad. Aspekti teorije u beskonačno dimenzionalnom slučaju izloženi su u Svetozar Kurepa: Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990. Treba spomenuti i udžbenik Linearna Algebra, Tehnička knjiga, Zagreb, 2004. čiji je autor Krešimir Horvatić te udžbenik Linearna algebra, Element, Zagreb, 2022. čiji je autor Ljiljana Arambašić.

Kao uvod u vektorske prostore, s primjenama u geometriji, služe udžbenici za prirodoslovno-matematičke gimnazije, kao npr. Branimir Dakić, Neven Elezović: Analitička geometrija, Element, Zagreb, 1998.