Vektorski prostor

Vektorski ili linearni prostor jedna je od osnovnih algebarskih struktura u matematici i osnovni objekt proučavanja u grani algebre koju zovemo linearna algebra. Pojam vektorskog prostora nastao je apstrakcijom i poopćavanjem algebarske strukture na skupu svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije. Primjene su široke i uključuju temeljne discipline kao što su analiza i analitička geometrija.

Vektorski prostor je algebarska struktura inspirirana skupom svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije

DefinicijaUredi

Vektorski prostor definira se na sljedeći način:[1]

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na zbrajanje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element bilježimo znakom   ili o i zovemo nulvektor ili nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na binarne operacije zbrajanja i množenja (u apstraktnom smislu) označavamo s 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × VV, koje svakom skalaru   i svakom vektoru   pridružuje vektor  , tako da vrijede sljedeći aksiomi:

  1.   za sve   i  
  2.   za sve   i  
  3.   za sve   i  
  4.   za sve  

Ovako definirano preslikavanje zove se množenje vektora skalarom, dok se V opremljen tim preslikavanjem naziva vektorski prostor nad poljem F ili F-vektorski prostor.

Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad tijelom, dakle u većoj općenitosti kad je F tijelo. Doslovno ponovljena gornja definicija gdje je F tijelo određuje lijevi vektorski prostor nad F. Desni vektorski prostori definiraju se analogno, pri čemu je množenje skalarom zdesna, V × F → V.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom kvaterniona, kvaternionski vektorski prostori.

SvojstvaUredi

Linearne kombinacije vektora i linearna ljuskaUredi

Neka je   podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor   linearna kombinacija elemenata od   ako se da napisati u obliku   gdje je   prirodni broj i gdje su   i  . Također možemo reći da je   linearna kombinacija vektora  . Kažemo da je   je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz   i sama u  .

Ako je   ma koji skup vektora, tada je njegova linearna ljuska   skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz  . To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži  .

Linearni operatoriUredi

Preslikavanje   među skupovima vektora dva vektorska prostora   i   nad istim poljem ili tijelom   zovemo aditivnim ako   za svaka dva vektora  , homogenim ako   za sve   i linearnim ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom ili linearnom transformacijom među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator često se izostavlja.

Afini prostorUredi

Ako je F polje, skup A opremljen djelovanjem  , translacijom za vektor Abelove grupe V, zovemo afini prostor (nad poljem F) ako je to djelovanje slobodno i tranzitivno. Elemente od A zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora   na točki   označava se s   ili   i tumači kao translacija točke   za vektor  .

  • Uvjet slobodnosti znači da ako je   za neki   tada je  .
  • Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke   postoji vektor   takav da je  .
  • Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s  .

Ovo reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka   koji su krajevi usmjerene dužine, a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se translacijom mogu prevesti jedna u drugu, odnosno ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.

Unitarni prostoriUredi

Realni vektorski prostor   opremljen bilinearnom preslikavanjem   koje je linearno u oba argumenta (bilinearno preslikavanje), pozitivno definitno i simetrično zovemo realni unitarni prostor.

Konačnodimenzionalni realni unitarni prostor ponekad nazivamo Euklidski vektorski prostor. Pod Euklidskim prostorom u modernom smislu, međutim, češće podrazumijevamo konačnodimenzionalni afini prostor čiji vektorski prostor translacija je realni unitarni prostor.

LiteraturaUredi

Teorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora u potpunosti je izložena u knjizi Svetozar Kurepa: Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. Knjiga sadrži i zadatke kao uvod u samostalni rad. Aspekti teorije u beskonačno dimenzionalnom slučaju izloženi su u Svetozar Kurepa: Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990. Treba spomenuti i udžbenik Linearna Algebra, Tehnička knjiga, Zagreb, 2004. čiji je autor Krešimir Horvatić.

Kao uvod u vektorske prostore, s primjenama u geometriji, služe udžbenici za prirodoslovno-matematičke gimnazije, kao npr. Branimir Dakić, Neven Elezović: Analitička geometrija, Element, Zagreb, 1998.

IzvoriUredi

  1. Kraljević, Hrvoje. 2007. Vektorski prostori (PDF). math.pmf.unizg.hr. Pristupljeno 2. srpnja 2021.