Reuleauxov trokut

Reuleauxov mnogokut je krivulja stalne širine – to jest, krivulja čiji su svi promjeri iste duljine. Najpoznatiji oblik je Reuleauxov trokut. Ime je dobio po Franzu Reuleauxu, njemačkome inženjeru iz 19. stoljeća, iako je takav trokut bio poznat i prije njega.

Reuleauxov trokut je lik sa stalnim promjerom, temeljen na jednakostraničnom trokutu.

Reuleauxov trokut najjednostavniji je netrivijalni primjer krivulje sa stalnom širinom – krivulja kod koje su jednako udaljene dvije suprotne paralelne tangente, neovisno o smjeru tih paralela. (Trivijalni primjer je krug.)

Konstrukcija

uredi
 
Konstrukcija Reuleauxovog trokuta

Konstrukcija Reuleauxovog trokuta počinje na jednakostraničnom trokutu. Šestar se postavi u jedan od vrhova i opiše kružni luk između druga dva vrha. To se ponovi i za ostale vrhove. Zatim se obriše početni trokut. Rezultat je krivulja konstantne širine. Ekvivalentno, za zadani trokut T čije su stranice a, uzeti granicu presjeka kružnica s polumjerom a koje su konstruirane iz vrhova trokuta T.

Po Blaschke-Lebesgue teoremu, Reuleauxov trokut ima najmanju površinu od svih krivulja konstantne širine. Ta površina je  , gdje je d konstantni promjer, što je za oko 11,4 % manje od površine kruga istog promjera.[1]

Reuleauxov trokut može se generalizirati na pravilne poligone s neparnim brojem stranica. Tako su, na primjer, izrađene britanske kovanice od 20[2] i 50[3] penija.[4]

Primjena

uredi
 
Reuleauxov trokut koji rotira u kvadratu konstantnih dimenzija.
  • Rotor Wankelova motora sličan je Reuleauxovom trokutu.
  • Svrdlom u obliku Reuleauxovog trokuta može se izbušiti rupa koja je skoro savršen kvadrat (98,77 % površine, sa zaobljenim kutovima). Takvo svrdlo je 1914. projektirao i patentirao Harry Watts.[1] To je svrdlo konkavno na tri mjesta, što omogućuje sječenje kutova kvadrata i odstranjivanje strugotine. Vođenje osi svrdla je po kružnici, kao što pokazuje slika desno.

Trodimenzijska inačica

uredi

Presjek lopti polumjera r iz središta pravilnoga tetraedra čija je stranica r zove se Reuleauxov tetraedar, ali nije ploha stalne širine. No, može se napraviti s tim svojstvom, a takav se lik zove Meissnerov tetraedar, tako što se bridni lukovi zamijene krivim umetcima; alternativno, rotacijska ploha Reuleauxova trokuta kroz jednu njegovu os simetrije tvori plohu stalne širine, s najmanjim obujmom od svih rotacijskih ploha zadane stalne širine.

Izvori

uredi
  1. a b Miodrag Petković, Zanimljivi svet matematike, str. 196-197, Tehnička knjiga, Beograd 1994. ISBN 86-325-0401-0
  2. Kovanica od 20 penija je Reuleauxov sedmerokut
  3. Kovanica od 50 penija je Reuleauxov sedmerokut
  4. Anić - Goldstein, Rječnik stranih riječi, Zagreb 2007, ISBN 978-953-6045-52-5, str. 200, odrednica "Funta", "...manje jedinice nazivaju se u V. Britaniji peni".

Vanjske poveznice

uredi