Binetova formula

Binetova formula je izraz za računanje -tog Fibonaccijevog broja kojeg označavamo s , počevši od

Formula je nazvana po francuskom matematičaru Jacquesu Philippeu Binetu, iako je poznato da je za nju, stoljeće prije njega, znao Abraham de Moivre.

Ako s označimo tada formula glasi [1]

Uočimo da su oba rješenja zlatne jednadžbe Dokaz Binetove formule će zbog toga biti skriven upravo u toj jednadžbi.

DokazUredi

Binetovu formulu ćemo dokazati metodom matematičke indukcije.

Uočimo što ćemo dobiti uzastopnim množenjem zlatne jednadžbe s  :  

 

 

 

Uočavamo da su koeficijenti uz   i   uzastopni Fibonaccijevi brojevi pa naslućujemo da vrijedi   uz dodatak   Gore smo pokazali da tvrdnja vrijedi za  

Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi za neki   tj. da je  

Iz pretpostavke slijedi   što daje  

Sada iz temeljne jednakosti   zamjenom slijedi   iz čega je   odnosno   što je i trebalo dokazati.

Znamo da su   rješenja jednadžbe   pa također zadovoljavaju i jednakosti   Zato možemo pisati  

Oduzimanjem ove dvije jednadžbe slijedi   a kako je   konačno dobivamo  [2]

IzvoriUredi

  1. Andrej Dujella, Teorija brojeva, Školska knjiga, 2019.
  2. https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Binet%27s_Formula