Eulerov identitet

U matematičkoj analizi Eulerov identitet predstavlja sljedeću jednakost imenovanu po Leonhardu Euleru:

gdje je

Eksponencijalna funkcija ez može se definirati kao limes niza (1 + z/N)N. Tako da kada N teži u beskonačnost time je i e limes od (1 + iπ/N)N. Može se pokazati da se za dovoljno veliki N, izraz (1 + iπ/N)Npribližava svom limesu koji iznosi −1.

Eulerova jednakost se od strane mnogih smatra izuzetnim jer na jednostavan način povezuje tri osnovne matematičke operacije (zbrajanje, množenje i potenciranje) te povezuje čak pet fundamentalnih matematičkih konstanti i to brojeve 0, 1, π, e i imaginarni broj i. Svaka od tih konstanti na poseban je način temeljna u teoriji brojeva, geometriji i trigonometriji, statistici, području kompleksnih brojeva i drugdje. Eulerovu jednakost mnogi smatraju jednim od najljepših teorema u matematici.

IzvodUredi

Radi se o posebnom slučaj Eulerove formule koja ustanovljava da je

 

za svaki realni broj x određen u radijanima.

Na taj način je i

 

te kako je

 

i

 

slijedi da je

 

iz čega slijedi konačan oblik jednakosti:

 

Poopćenje identitetaUredi

Eulerov identitet je poseban slučaj općenitije jednakosti:

 

Eulerov identitet je slučaj n = 2.

ObjašnjenjeUredi

Postoji jednostavno konceptualno objašnjenje ove jednakosti. Množenjem dva kompleksna broja   (lako se dokaže pretvorbom u trigonometrijski oblik) dobivamo treći   kojemu je modul (ili intezitet) jednak umnošku modula   a argument (prikloni kut) mu je jednak zbroju argumenata  

Dakle, potenciranjem nekog kompleksnog broja   dobivamo logaritamsku spiralu.

Iz realne analize je poznato da vrijedi   pa definiramo   Uočimo da ovdje potenciramo neki kompleksni broj  . Kako   ordinata broja   se smanjuje. Dakle, modul od   teži u   a kut teži u   Zbog toga što   množimo sa sobom   puta, spirala se pretvara u jediničnu kružnicu pa zaista vrijedi  

Kako je   slijedi