Wikipedija

Divergencija polja: razlika između inačica

Pregledaj povijest
← Starija izmjenaNovija izmjena →
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
VizualnoWikitekst
m Ponor premjestio je stranicu Divergencija na Divergencija polja: kad već imamo Rotaciju polja i Tok polja red je da ovo bude Divergencija polja
još malo pa kraj... slijede reference
Redak 28:
Riječima, on kaže da je integral divergencije polja po volumenu zatvorenom nekom plohom jednak toku polja kroz tu plohu.
 
== DivergencijaOperator divergencije u kartezijevompravokutnom koordinatnom sustavu ==
[[Datoteka:Divergencija pravokutni.png|mini|Shematski prikaz uz izvod za divergenciju u pravokutnom koordinatnom sustavu]]NapišimoOperator najprijedivergencije izračunu [[Tokpravokutnom polja|toka]]koordinatnom sustavu dobije se iz opće definicije razmatranjem toka polja kroz stranice kvadra bridovakoji sadrži točku s koordinatama <math>\Delta(x_0, y_0, z_0)</math>. Možemo uzeti da je ova točka u središtu kvadra i da su duljine njegovih stranica Δx, Δy i Δz.
x,\Delta y, \Delta z</math>, kojem je jedan od vrhova na
koordinatama <math>(x_0, y_0, z_0)</math>:
 
Tok polja <math>\mathbf{F}=\hat{x}F_x+\hat{y}F_y+\hat{z}F_z</math> kroz prednju plohu kvadra kojoj normala gleda u smjeru pozitivne osi x, bit će
:<math>{\int\limits_S \overrightarrow{W} \cdot d
\vec{S}=\int\limits_{S_1} \overrightarrow{W_1} \cdot d
\overrightarrow{S_1}+\int\limits_{S_2} \overrightarrow{W_2} \cdot
d \overrightarrow{S_2}+\int\limits_{S_3} \overrightarrow{W_3}
\cdot d \overrightarrow{S_3}+ \int\limits_{S_4}
\overrightarrow{W_4} \cdot d
\overrightarrow{S_4}+\int\limits_{S_5} \overrightarrow{W_5} \cdot
d \overrightarrow{S_5}+ \int\limits_{S_6} \overrightarrow{W_6}
\cdot d \overrightarrow{S_6}}=</math>
 
<math>\int_{S_{yz}}\mathbf{F}(x_0+\tfrac{1}{2}\Delta x,y,z)\cdot \hat{x}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\int_{S_{yz}} F_x (x_0+\tfrac{1}{2}\Delta x,y,z)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z</math>
:<math>=\int\limits_{S_1} \overrightarrow{W}(x_0,y,z) \cdot
(-\hat{x})dydz+\int\limits_{S_2}\overrightarrow{W}(x_0+\Delta
x,y,z) \cdot \hat{x}dydz+</math>
 
dok će tok polja kroz nasuprotnu plohu, kojoj normala gleda u smjeru negativne osi x biti
:<math>+\int\limits_{S_3} \overrightarrow{W}(x,y_0,z) \cdot
(-\hat{y})dxdz+\int\limits_{S_4} \overrightarrow{W}(x,y_0+\Delta
y,z) \cdot \hat{y}dxdz+</math>
 
<math>\int_{S_{yz}}\mathbf{F}(x_0-\tfrac{1}{2}\Delta x,y,z)\cdot (-\hat{x})\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=-\int_{S_{yz}} F_x (x_0-\tfrac{1}{2}\Delta x,y,z)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z</math>.
:<math>+\int\limits_{S_5} \overrightarrow{W}(x,y,z_0) \cdot
(-\hat{z})dxdy+\int\limits_{S_6} \overrightarrow{W}(x,y,z_0+\Delta
z) \cdot \hat{z}dxdy=</math>
 
Ovdje ''S''<sub>yz</sub> označava sljedeće granice integracije po osima y i z: <math>|y-y_0|\le\tfrac{1}{2}\Delta y</math>, <math>|z-z_0|\le\tfrac{1}{2}\Delta z</math>.
:<math>=\overbrace{\int\Bigl[W_x(x_0+\Delta
x,y,z)-W_x(x_0,y,z)\Bigr]}^{\frac{\partial W_x}{\partial x} \cdot▼
\Delta x} dydz+</math>▼
 
Ukupnom toku kroz oplošje kvadra ove će dvije plohe doprinijeti s
:<math>+\int\Bigl[W_y(x,y_0+\Delta
y,z)-W_y(x,y_0,z)\Bigr]dxdz+</math>
 
:<math>+\,\,\int\limits_{S_{yz}}\underbrace{\Bigl[W_zF_x(x,y,z_0x_0+\tfrac{1}{2}\Delta
x,y,z)-F_x(x_0-\tfrac{1}{2}\Delta
z)-W_z(x,y,z_0)\Bigr]dxdy=</math>
▲x,y,z)-W_x(x_0,y,z)\Bigr]}^_{\frac{\partial W_xF_x}{\partial x} \cdot
▲\Delta x} dydz+dy\,dz</math>.
 
U prijelazu na infinitezimalne veličine, može se uzeti da se integrand <math>\frac{\partial F_x}{\partial x}\Delta x</math> ne mijenja mnogo u intervalu integracije. Doprinos toku polja s dviju nasuprotnih stranica stoga je
:<math>{=\frac{\partial W_x(x_0,y_0,z_0)}{\partial x} \cdot \Delta▼
x\Delta y\Delta z + \frac{\partial W_y(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}
\cdot \Delta x\Delta y\Delta z + \frac{\partial
W_z(x_0,y_0,z_0)}{\partial z} \cdot \Delta x\Delta y\Delta▼
z=}</math>
 
:<math> =\biggl(\frac{\partial W_xF_x(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}+\frac{Delta x\partialDelta y\Delta z</math>.
 
W_y}{\partial y}+\frac{\partial W_z}{\partial z}\biggr) \cdot▼
Isto se razmatranje može ponoviti i za preostale plohe u nasuprotnim parovima. Tok polja kroz oplošje kvadra bit će zbroj triju pribrojnika s izmijenjenim komponentama polja i osima parcijalne derivacije.
 
d<math> \vec{S}}Phi_{\Delta V}= (\fracmathbf{F})=\Biglleft(\frac{\partial W_xF_x}{\partial x}+\frac{\partial▼
▲W_yF_y}{\partial y}+\frac{\partial W_zF_z}{\partial z}\biggrright) \cdot
\Delta V.</math>
 
Prema definiciji, divergencija u točki <math>(x_0, y_0, z_0)</math> bit će
Sada to uvrstimo u već poznati izraz za divergenciju:
 
:<math> \operatorname{div}\overrightarrowmathbf{WF}|_{(\vec{rx_0,y_0,z_0)})=\lim_frac{\Delta Vpartial
▲:<math>F_x(x_0,y_0,z_0)}{=\partial x}+\frac{\partial W_xF_y(x_0,y_0,z_0)}{\partial xy} +\cdot frac{\Deltapartial
\mapsto 0} \frac{\int\limits_{\Delta V}\overrightarrow{W}\cdot
▲W_zF_z(x_0,y_0,z_0)}{\partial z} \cdot \Delta x\Delta y\Delta.</math>
▲d\vec{S}}{\Delta V}= \frac{\Bigl(\frac{\partial W_x}{\partial
:
x}+\frac{\partial W_y}{\partial y}+\frac{\partial W_z}{\partial
I općenito, u bilo kojoj točki <math>(x, y, z)</math>
z}\Bigr) \cdot \Delta V}{\Delta V}</math>
 
:<math> \operatorname{div}\overrightarrowmathbf{WF}(\vec{r})=\frac{\partial
W_xF_x}{\partial x}+\frac{\partial W_yF_y}{\partial y}+\frac{\partial
W_zF_z}{\partial z}.</math>
 
Upravo je ovaj izraz formalna definicija divergencije u kartezijevom koordinatnom sustavu. OčitoOperator divergencijudivergencije možemo simbolički pisati pomoću [[Hamilton|Hamiltonova]] operatora nabla:
simbolički pisati pomoću [[Hamilton|Hamiltonova]] operatora '''[[nabla]]''':
 
:<math>\operatorname{div}\overrightarrowmathbf{WF}(\vec{r})=\vec{\nabla} \cdot
\overrightarrowmathbf{WF}=\left(\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} +
\hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z}
\frac{\partial}{\partial z} \right)(W_x \cdot (\hat{x}F_x + W_y\hat{y}F_y + \cdothat{z}F_z)= \frac{\partial F_x}{\partial
\hat{yx} + W_z \cdot \hatfrac{z\partial F_y})={\partial y}+\frac{\partial W_xF_z}{\partial
x}+\frac{\partial W_y}{\partial y}+\frac{\partial W_z}{\partial
z}.</math>
 
Line 101 ⟶ 82:
 
== Divergencija u drugim koordinatnim sustavima ==
* u [[Cilindrični koordnatni sustav|cilindričnom]] koordinatnom sustavu:
:<math>\operatorname{div} \overrightarrowmathbf{WF} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho}(\rho W_F_{\rho})+\frac{1}{\rho}\frac{\partial W_F_{\varphi}}{\partial \varphi}+\frac{\partial W_zF_z}{\partial z};</math>
 
* u [[Sferni koordinatni sustav|sfernom]] koordinatnom sustavu:
:<math>\operatorname{div} \overrightarrowmathbf{WF} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2W_r2F_r)+\frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta} (W_F_{\vartheta} \sin \vartheta) + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial W_F_{\varphi}}{\partial \varphi}.</math>
 
== Divergencija i algebarske operacije ==
Neka su dana vektorska polja <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math>, skalar <math>U</math>, skalarna funkcija<math>f(U)</math> i vektor položaja <math>\vec{r}</math>. Tada vrijedi:
<math>\vec{v}</math>, skalar <math>U</math>, skalarna funkcija
<math>f(U)</math> i [[radij-vektor]] <math>\vec{r}</math>. Tada
vrijedi:
# <math>\operatorname{div}(\vec{u} + \vec{v}) = \operatorname{div}\vec{u} + \operatorname{div}\vec{v}</math>
# <math>\operatorname{div}(U \cdot \vec{v}) = U \cdot
Line 121 ⟶ 99:
 
== Primjer ==
Divergencija elektrostatskog polja točkastog naboja postavljenog u ishodištu sustava,
:<math>\overrightarrowvec{E}= \frac{1}{4 \pi
\varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r}</math>
iznosi
:<math>{\operatorname{div} \overrightarrowvec{E} = \operatorname{div} \left(\frac{1}{4
\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r} \right)
\stackrel{(2.)}{=}\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \cdot
Line 131 ⟶ 109:
\operatorname{grad} \frac{1}{r^3} \stackrel{(4.)}{=}\frac{3q}{4 \pi
\varepsilon_0 r^3}+\frac{3q}{4 \pi \varepsilon_0}
\vec{r}\frac{(-1)}{r^5}\vec{r}=0.}</math>
 
ishodišu,U koristećisvakoj invarijantnosttočki prostora osim u divergencijeishodištu. Ovaj rezultat zapravo je jedna od [[Maxwellove jednadžbe|Maxwellovih jednadžbi]], odnosno [[Gaussov zakon]] (''ne'' teorem!) u prostoru gdje nema naboja. ▼
Ovdje smo gledali polje u bilo kojoj točki prostora, a ne u
▲ishodišu, koristeći invarijantnost divergencije. Ovaj rezultat zapravo je jedna od [[Maxwellove jednadžbe|Maxwellovih jednadžbi]], odnosno [[Gaussov zakon]] (''ne'' teorem!) u prostoru gdje nema naboja.
 
== Vezani pojmovi ==
Dobavljeno iz "https://hr.wikipedia.org/wiki/Divergencija_polja"