Divergencija polja

U vektorskoj analizi divergencija je operator kojim se određuje jakost izvorā vektorskog polja po prostoru.

Vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.[1][2]

Divergencija je skalarno polje koje daje tok gustoće vektorskog polja u svakoj točki prostora. Kada se divergencija polja prointegrira unutar zatvorene plohe — ili pojednostavljeno, kada se pozbrajaju umnošci divergencije (kao volumne gustoće) i infinitezimalno sitnih djelića volumena zatvorenog tom plohom — dobije se tok vektorskog polja kroz plohu.[3]

Divergencija se najviše primjenjuje u fizici. Neki od najvažnijih zakona u elektromagnetizmu i hidrodinamici iskazani su preko divergencije električnih, magnetskih i polja brzine fluida. Divergencija električnog polja tako je nula gdjegod nema naboja; pozitivna je na mjestu pozitivnih naboja te su oni izvori tog polja, a negativna na mjestu negativih naboja koji su njegovi ponori. Divergencija magnetskog polja uvijek je nula, magnetsko polje nema zasebne izvore i ponore — ne postoje magnetski monopoli.

DefinicijaUredi

 
Divergencija polja F u točki x je granična vrijednost toka polja kroz plohu Si podijeljenog volumenom Vi kako se volumeni sažimaju prema samoj točki.

Divergencija vektorskog polja   u točki   definira se kao granična vrijednost toka polja kroz zatvorenu plohu koja obuhvaća tu točku kako se ploha prema njoj sažima. Budući da je tok polja dan površinskim integralom funkcije  , divergencija je[3][4]

 .

Ovdje je V volumen zahvaćen zatvorenom plohom S(V) koja okružuje točku  , a dS infinitezimalni element plohe sa smjerom normale na plohu.

Budući da su i tok polja i volumen skalari, i divergencija je kao limes njihova omjera skalar. Divergencija je dakle skalarno polje koje karakterizira vektorsko polje na koje djeluje. Točke prostora gdje je   nazivaju se izvorima, a točke gdje je   ponorima polja.

Definicija divergencije ne ovisi o koordinatnom sustavu. U primjeni se pak rijetko koristi definicija pa se oblik operatora divergencije veže za izabrani koordinatni sustav.

Gaussov teoremUredi

Za divergenciju vektorskog polja   vrijedi Gaussov teorem, ponegdje zvan i teoremom Gaussa i Ostrogradskog,[5]

 

Teorem kaže da je integral divergencije polja po volumenu zatvorenom nekom plohom jednak toku polja kroz tu plohu. Fizički, ovo znači da ako se u danom volumenu materija ne stvara i ne uništava, njena se gustoća može mijenjati samo njenim protjecanjem kroz granicu volumena.[5]

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavuUredi

 
Tok polja F kroz infinitezimalno malenu zatvorenu plohu unutar koje je točka (x0,y0,z0).

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu dobije se iz opće definicije razmatranjem toka polja kroz stranice kvadra koji sadrži točku s koordinatama  .[3][6] Možemo uzeti da je ova točka u središtu kvadra i da su duljine njegovih stranica Δx, Δy i Δz.

Tok polja   kroz prednju plohu kvadra kojoj normala gleda u smjeru pozitivne osi x, bit će

 

dok će tok polja kroz nasuprotnu plohu, kojoj normala gleda u smjeru negativne osi x biti

 .

Ovdje Syz označava sljedeće granice integracije po osima y i z:  ,  .

Ukupnom toku kroz oplošje kvadra ove će dvije plohe doprinijeti s

 .

U prijelazu na infinitezimalne veličine, može se uzeti da se integrand   ne mijenja mnogo u intervalu integracije. Doprinos toku polja s dviju nasuprotnih stranica stoga je

 .

Isto se razmatranje može ponoviti i za preostale plohe u nasuprotnim parovima. Tok polja kroz oplošje kvadra bit će zbroj triju pribrojnika s izmijenjenim komponentama polja i osima parcijalne derivacije.

 

Prema definiciji, divergencija u točki   bit će

 

I općenito, u bilo kojoj točki  

 

Upravo je ovaj izraz formalna definicija divergencije u kartezijevom koordinatnom sustavu. Operator divergencije simbolički se piše pomoću Hamiltonova operatora nabla:

 

Divergencija u drugim koordinatnim sustavimaUredi

 
 

Svojstva operatora divergencijeUredi

Za dana vektorska polja   i  , skalar  , skalarnu funkciju   i vektor položaja   vrijedi:[2]

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

PrimjerUredi

Divergencija elektrostatskog polja točkastog naboja postavljenog u ishodištu sustava danog Coulombovim zakonom

 

iznosi

 

u svakoj točki prostora osim u ishodištu. Ovaj rezultat zapravo je jedna od Maxwellovih jednadžbi, odnosno Gaussov zakon u prostoru gdje nema naboja.

Vezani pojmoviUredi

IzvoriUredi

  1. Salih Suljagić. 11. ožujka 2000. Skalarna i vektorska polja. Inačica izvorne stranice arhivirana 22. listopada 2018. Pristupljeno 19. listopada 2020.
  2. a b Ivan Slapničar. Vektorska analiza. Inačica izvorne stranice arhivirana 28. prosinca 2019. Pristupljeno 19. listopada 2020.
  3. a b c Eric W. Weisstein. Divergence (engleski). Pristupljeno 19. listopada 2020.
  4. Salih Suljagić. 11. ožujka 2000. Plošni integrali. Inačica izvorne stranice arhivirana 22. listopada 2018. Pristupljeno 19. listopada 2020.
  5. a b Eric W. Weisstein. Divergence Theorem (engleski). Pristupljeno 19. listopada 2020.
  6. The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 3: Vector Integral Calculus. Pristupljeno 19. listopada 2020.