Otvori glavni izbornik

Maxwellove jednadžbe (po J. C. Maxwellu) osnovne su jednadžbe elektromagnetizma koje izražavaju povezanost električnog i magnetskoga polja u prostoru i vremenu. Prema njima, promjene u električnom polju uzrokuju promjene u magnetskome polju i obrnuto i dovoljno je u nekom trenutku poznavati električno i magnetsko polje u prostoru kako bi se jednoznačno mogle odrediti vremenske promjene polja u budućnosti. [1] Maxwellove jednadžbe su temelj klasične elektrodinamike i teorijske elektrotehnike. Koristeći u to doba poznate zakone (Ampèreov zakon, Faradayev zakon indukcije i Gaussov zakon) te postavivši hipotezu o struji pomaka, Maxwell ih je sve skupa ujedinio u skladu sa jednadžbom kontinuiteta.

Elektromagnetizam
VFPt Solenoid correct2.svg
Elektricitet · Magnetizam
Elektrodinamika

Zrakoprazan prostor · Lorentzov zakon · ems · Elektromagnetska indukcija · Faradayev zakon · Lenzov zakon · Struja pomaka · Maxwellove jednadžbe · EM polje · Elektromagnetsko zračenje · Liénard-Wiechertov potencijal · Maxwellov tenzor · Vrtložne struje

Ampèreov zakon je fizikalni zakon koji izražava činjenicu da magnetsko polje nastaje kao posljedica gibanja električnih naboja.

Sadržaj

Prikaz jednadžbiUredi

Za razumijevanje sljedećih jednadžbi potrebno je poznavati osnove vektorske analize. Maxwellove se jednadžbe mogu prikazati u diferencijalnom i integralnom obliku. Ekvivalencija između ovih oblika zasniva se na Stokesovom i teoremu Gauss-Ostrogradski. Također postoji i četverodimenzionalni oblik koji se koristi u teoriji relativnosti i kvantnoj elektrodinamici. Univerzalni oblik Maxwellovih jednadžbi opisuje elektromagnetske fenomene u vakuumu, a u diferencijalnoj formi (u SI sustavu) glasi:

 
 
 
 

gdje je:

  - gustoća električnoga naboja ili količina električnog naboja po jedinici volumena,
  - gustoća električne struje, tok električnog naboja po jedinici površine u jedinici vremena,
  - dielektrična konstanta vakuuma (permitivnost),
  - permeabilnost vakuuma, a jednaka je:
 
gdje je   brzina svjetlosti.

U Maxwellovim jednadžbama implicitno se pretpostavlja da vrijedi jednadžba kontinuiteta:

 

Ovo je zapravo zakon očuvanja naboja. Za svaku zatvorenu plohu u prostoru vrijedi da je tok struje koja prolazi kroz tu zatvorenu plohu jednak negativnoj promjeni količine naboja u tom prostoru.

Za potpuni opis elektromagnetskih fenomena pored Maxwell-ovih jednadžbi nužna je i jednadžba za Lorentzovu silu, kako bi se iz polja mogla odrediti sila:

 
Sažeti prikaz Maxwell-ovi jednadžbi u SI jedinicama
diferencijalni oblik povezujući teorem integralni oblik
Gaussov zakon: izvor električnog polja je električni naboj. Gaussov Električni tok kroz zatvorenu plohu jednak je ukupnom električnom naboju u njezinoj unutrašnjosti.
     
Magnetsko polje nema izvora (ne postoje magnetski monopoli). Gaussov Magnetski tok kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je nuli.
     
Faradayev zakon indukcije: svaka promjena magnetskog polja stvara električno polje. Stokesov Integral vektora električnog polja po zatvorenoj krivulji jednak je negativnoj promjeni po vremenu magnetskog toka obuhvaćenog tom krivuljom.
     
Prošireni Ampèreov zakon: oko vodiča kojim teče električna struja inducira se magnetsko polje, ali i svako promjenjivo električno polje inducirati će magnetsko polje. Stokesov Integral vektora jakosti magnetskog polja po zatvorenoj krivulji jednak je zbroju struje i vremenske promjene električnog toka obuhvaćenih tom krivuljom.
     
 
Prikaz električnog polja koje okružuje pozitivni (crveno) i negativni (plavo) električni naboj.
 
Prikaz električnog polja između dva točkasta električna naboja.
 
Radijalno (poprečno) električno polje pozitivne kugle.
 
Magnetsko polje je prostor oko prirodnih i umjetnih magneta i unutar njih u kojem djeluju magnetske sile.
 
Magnetsko polje prstenastog magneta.

Objašnjenje Maxwellovih jednadžbiUredi

Prva jednadžba govori da je električni naboj izvor (ili ponor) električnog polja. Ukupni električni tok kroz zatvorenu plohu proporcionalan je količini električnog naboja koji se nalazi unutar volumena te plohe. Ako unutar te zatvorene plohe nema električnog naboja (ili je količina pozitivnog jednaka količini negativnog električnog naboja), ukupni električni tok kroz tu zatvorenu plohu je nula. No, to ne znači da u tom volumenu uopće nema električnog polja, već samo da ukupni tok iščezava. Dakle, ako nema električnog naboja u tom promatranom volumenu, koliko silnica električnog polja ulazi kroz plohu koja opisuje volumen, toliko silnica negdje i izlazi iz te iste zatvorene plohe.

Druga Maxwellova jednadžba slična je prvoj (u situaciji u kojoj ne postoji naboj), ali opisuje magnetsko polje. Ova jednadžba izriče da ne postoji "magnetski naboj" (magnetski monopol), to jest ne postoji izvor magnetskog polja, iz kojega bi proizlazio magnetski tok različit od nule. U svakoj točki prostora, količina silnica magnetskog polja koja ulazi u tu točku jednaka je količini silnica koje izlaze iz te točke, silnice magnetskog polja nemaju izvora (ili ponora). Stoga ukupni magnetski tok kroz zatvorenu plohu uvijek iščezava. To vrijedi i za izvore magnetskog polja, stoga je svaki izvor magnetskog polja barem dipol.

Maxwellove jednadžbe u makroskopskom mediju (sredstvu)Uredi

Maxwellove jednadžbe opisuju ponašanje električnog i magnetskog polja svugdje u prostoru, ako su poznati svi izvori, to jest naboji i struje. U opisu makroskopskih objekata takav pristup nije moguć iz dva razloga. Prvo, broj nabijenih čestica u atomima i nuklearnim jezgrama vrlo je velik. Drugi je razlog da sa makroskopske točke gledanja, svi detalji u ponašanju polja i naboja na atomskim i molekularnim dimenzijama nisu relevantni. Ono što je bitno, to je prosječna vrijednost polja i izvora u volumenu koji je velik u usporedbi sa jednim atomom ili molekulom. Ovakve prosječne vrijednost nazivaju se makroskopska polja i makroskopski izvori. U ovom slučaju Maxwellove jedandžbe poprimaju oblik:

 
 
 
 

gdje je:

  - polje električnog pomaka,
  - magnetizirajuće polje,
  - gustoća slobodnog električnog naboja (ukupna gustoća električnog naboja minus gustoća vezanih električnih naboja),
  - gustoća slobodne električne struje (ukupna gustoća električne struje minus gustoća vezanih električnih struja).

Veličine   i   nije jednostavno odrediti, jer je u njima sadržana cjelokupna složenost interakcije polja i sredstva (medija, to jest materijala u kojem se polje nalazi). Moguće je da ove veličine ovise o prethodnom stanju sredstva (histereza), također moguće je da su nelinearne i prostorno anizotropne. Ove jednadžbe za polja u sredstvu nisu toliko univerzalne kao početno navedene jednadžbe. Ipak, J.C. Maxwell ih je na sličan način prvobitno formulirao. Veze između   i   te između   i   zovu se konstitutivne relacije.

U najjednostavnijem slučaju pretpostavlja se, da su električna i magnetska svojstva sredstva homogena i izotropna, te da se polja ne mijenjaju intenzivno u vremenu. U stvarnosti to vrijedi za dielektrične i paramagnetske materijale. Tada vanjsko električno polje stvara polarizaciju  , koja je linearno proporcionalna električnom polju, dok magnetsko polje stvara magnetizaciju   proporcionalnu magnetskom polju, te vrijedi:

 
 

Tada je:

 
 

Maxwellove jednadžbe za polje u izotropnom kontinuumuUredi

Klasično područje optike obuhvaća širenje svjetlosti, osobito one procese koji se opažaju nakon što je svjetlost već proizvedena pa sve do trenutka kad svjetlost biva apsorbirana. Sama emisija i apsorpcija svjetlosti izlazi iz okvira optike. To je predmet kvantne teorije. Ako i stvaramo elektrodinamičke modele o postanku svjetlosti, činimo to s jedne strane zato što ti modeli dobro tumače emisiju radio valova, a s druge strane što je to prirodan prijelaz na kvantnu teoriju.

Poslije Maxwella optika je postala dio elektromagnetske teorije. Prema tome, suvremena teorija svjetlosti polazi od Maxwellovih jednadžbi. No mnoga svojstva svjetlosti ne ovise o tome kako shvaćamo prirodu svjetlosti nego proizlaze iz općeg karaktera valnih jednadžbi. Valna teorija svjetlosti razvita prije Maxwella, ostaje valjana.

Dosad smo razmatrali elektromagnetske pojave u praznom prostoru ili vakuumu. Na razmjerno jednostavan način može se također razmotriti kako se elektromagnetski procesi šire u homogenom, izotropnom izolatoru. Zamislimo da se između nabijenih ploča električnog kondenzatora nalazi neki plin. Električno polje nije više kao u vakuumu jednako 4∙π∙ω, gdje je ω plošna gustoća naboja na pločama, nego je za faktor ε manje (ε je konstanta dielektričnosti). Što se događa ako ploče kondenzatora naglo praznimo? Po osnovnoj Maxwellovoj hipotezi, vrtlog magnetskog polja oko električnog kondenzatora je takav kao da prostorom između ploča teče električna struja. Ta zamišljena ili fiktivna struja jednaka je pravoj struji koja teče odvodnim žicama kondenzatora. No sekundarna promjena naboja po m2, ω, nije više jednaka E/4∙π, nego ε∙E/4∙π, jer je električno polje u izolatoru jednako 4∙π∙ω/ε. Prema tome, prva Maxwellova jednadžba u izotropnom izolatoru glasi:

 

Osnovno je iskustvo da i magnetsko polje biva utjecajem sredstva promijenjeno. Faktor za koji magnetsko polje u izotropnom kontinuumu između magnetskih polova biva oslabljeno ili ojačano prema polju u vakuumu zovemo magnetskom permeabilnošću i označujemo grčkim slovom μ. Polje u vakuumu označimo sa H0, polje u izotropnom sredstvu sa H.

 

Prema Faradayevim opažanjima inducirani električni vrtlog jednak je:

 

Maxwellov sistem jednadžbi za elektromagnetsko polje u tijelu može se pisati u obliku da se uvedu dva nova vektorska polja definicijom:

 
 

Prvo polje Maxwell je nazvao dielektričnim pomakom, a drugo magnetskom indukcijom.

Dok imamo pred sobom vakuum, Maxwellovoj teoriji dovoljne su dvije veličine: električno i magnetsko polje, E i H. Prisutnost materije opisao je Maxwell time da je za opisivanje električnog stanja uveo dva vektora E i D, a za opisivanje magnetskog stanja dva vektora H i B. Koliko god su praktički uspjesi ove teorije bili veliki, njena je osnovna slabost očita. Kad se stavimo na atomsko stajalište, tada u prostoru između elektrona i atomskih jezgri imamo samo električno i magnetsko polje. Posljedično je počeo provoditi ovaj program H. A. Lorentz. On je uzeo samo one veličine kojima je Maxwell opisao elektromagnetsko stanje u vakuumu. Drugih polja nema. Razumije se, da se prava električna i magnetska polja u materiji bitno razlikuju od onih polja, koja mjerimo na primjer u izolatoru. Prava polja su složene funkcije. Ona imaju izvore i ponore svuda, gdje se u materiji nalaze električni naboji. Tek kad računamo prosječna polja u materiji, možemo prisutnost izolatora opisati električnom i magnetskom polarizacijom; makroskopsko polje u tijelu određeno je pravim električnim nabojima i polarizacijom. [2]

Veza Maxwellovih jednadžbi i specijalne teorije relativnostiUredi

Čista elektrostatika (samo Coulombov zakon) je nekonzistentna s Lorentzovim transformacijama koje predviđa specijalna teorija relativnosti, a isto tako su Maxwellove jednadžbe nekonzistentne s Galilejevim transformacijama, što je, povijesno gledajući i dovelo do otkrića specijalne teorije relativnosti. Može se pokazati da su Maxwellove jednadžbe relativistička generalizacija elektrostatike.

IzvoriUredi

  1. Maxwellove jednadžbe, [1] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2019.
  2. Ivan Supek: "Nova fizika", Školska knjiga Zagreb, 1966.