Vektorsko polje

U matematici i fizici vektorsko polje je polje koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.

Vektorsko polje oblika f(x,y)=(−y, x)

Neki od diferencijalnih operatora primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Formalna definicija

Neka $X_{0}$ označava skup svih radijvektora u koordinatnom sustavu $\left(O,x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k}\right);k=\dim D$, tj.

$X_{0}=\{{\overrightarrow {OM}}|M=(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k})\in \mathbb {R} ^{n}\}$

Radijvektor je reprezentant (predstavnik) vektora kao klase usmjerenih dužina koji početak ima u ishodištu koordinatnog sustava. Neka je $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ skup koordinata.

Tada je svaka funkcija

$\mathbf {F} :D\mapsto X_{0}$

vektorska funkcija skalarne varijable, ili kraće vektorska funkcija ili vektorsko polje. Drugim riječima, vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

Potencijalno vektorsko polje

Solenoidno vektorsko polje

Laplaceovo vektorsko polje

Opće vektorsko polje

Transformacije sustava

Neka je $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ i $V_{x}:S\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ako je $Y$ neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu $Y$:

$V_{Y}:={\frac {\partial y}{\partial x}}V_{x}.$

Napomene

Za V se kaže da je C^k vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.

Primjene

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.

• Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje nad $\mathbb {R} ^{4}$, gdje su svakoj točki prostora u svakom trenutku vremena $\left(x,y,z,t\right)$ pridružene brzine

${\vec {v}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t)\,{\vec {\imath }}+v_{y}(x,y,z,t)\,{\vec {\jmath }}+v_{z}(x,y,z,t)\,{\vec {k}}$,

• Brzina protjecanja fluida kroz cijev,
• Opis magnetskog djelovanja,
• Opis električnog djelovanja,
• Gravitacija.

Podjela

Prema divergenciji i rotaciji, vektorska polja dijelimo na:

• Potencijalno ili bezvrtložno:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}$

• Solenoidno ili bezizvorno:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

• Laplaceovo:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

• Polje općeg oblika ili složeno polje:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}$

Povezani pojmovi

• Tok polja
• Divergencija
• Rotacija polja
• Električno polje
• Magnetsko polje
• Elektromagnetsko polje

Vanjske poveznice

• Skalarna i vektorska polja. Gradijent.
• Skalarna i vektorska polja.
• Wolfram: Vector Fields
• 2D Vector Field Simulation
• 3D Vector Field Simulation