Vektorsko polje

U matematici i fizici vektorsko polje je polje koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.

Vektorsko polje oblika f(x,y)=(−y, x)

Neki od diferencijalnih operatora primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Formalna definicijaUredi

Neka   označava skup svih radijvektora u koordinatnom sustavu  , tj.

 

Radijvektor je reprezentant (predstavnik) vektora kao klase usmjerenih dužina koji početak ima u ishodištu koordinatnog sustava. Neka je   skup koordinata.

Tada je svaka funkcija

 

vektorska funkcija skalarne varijable, ili kraće vektorska funkcija ili vektorsko polje. Drugim riječima, vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

 
Potencijalno vektorsko polje
 
Solenoidno vektorsko polje
 
Laplaceovo vektorsko polje
 
Opće vektorsko polje

Transformacije sustavaUredi

Neka je   i   vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ako je   neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu  :

 

NapomeneUredi

Za V se kaže da je Ck vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.

PrimjeneUredi

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.

  • Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje nad  , gdje su svakoj točki prostora u svakom trenutku vremena   pridružene brzine

 ,

  • Brzina protjecanja fluida kroz cijev,
  • Opis magnetskog djelovanja,
  • Opis električnog djelovanja,
  • Gravitacija.

PodjelaUredi

Prema divergenciji i rotaciji, vektorska polja dijelimo na:

  • Potencijalno ili bezvrtložno:
 
 
  • Solenoidno ili bezizvorno:
 
 
  • Laplaceovo:
 
 
  • Polje općeg oblika ili složeno polje:
 
 

Povezani pojmoviUredi

Vanjske PovezniceUredi